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自我指涉(4)——不谈自身无烦恼 精选

已有 10607 次阅读 2013-11-21 10:24 |个人分类:科普|系统分类:科普集锦| 语言, 悖论, 真理

无歧义严谨定义的形式语言,现在已经广泛应用在计算机程序语言和数学公理表达中。塔斯基是先驱之一。他严格定义的T模式,让我们可以用数理逻辑的理论,来研究与真理有关的问题。在数理逻辑中,有个著名的“对角线引理”,或称为“不动点定理”,【1】如下:

设S是包含着一阶算术的理论,对任给公式φ(x)存在一个句子ψ,有 S ψφ<ψ>.

这里“包含着一阶算术的理论”指包含着算术公理用一阶逻辑推出的命题集合,现在整个公理化数学系统已建立在这上面。凡能描述算术的形式语言也必须包含它。S 的意思是:理论S中,能够证明右边的式子成立。这里φ<ψ>是φ(<ψ>)的简写,是评判句子ψ具有φ性质的谓词表达式。这个引理的大意是:对于能够谈算术讲逻辑的语言,任给一个用来判定句子的属性φ,总能写出自我指涉的一句话ψ,说自己具有这个属性φ。用自然语言表达ψ就是:“这句子具有属性φ”。不过这里的ψ是用形式语言表达出来,在理论S里证明它逻辑上是这个意思。用它构造个谎言悖论可以证明一个重要的定理。【2

塔斯基定理:任何包含着一阶算术的理论,也包含了T模式,则是不相容的。Any theory extending first-order arithmetic and containing schema T is inconsistent.

有了这个对角线引理,它的证明很简单。如果这个理论也包含T模式,谓词T在这里是个公式,它的否定¬T也是个公式,根据对角线引理,存在着一个句子ψ,在这个理论里有:ψ↔ ¬T <ψ>。但按T模式,则有ψ↔ T <ψ>,得出T <ψ> ↔ ¬T <ψ>,说明这理论里有矛盾,不是自洽的。

这个定理也称为“Tarski's undefinability theorem”,它指出了语言定义能力的局限性,任何足够丰富包含算术的语言,都不足以无矛盾地解释它所能表达句子的语义,句子的语义必须在更丰富的高阶语言来表达,否则就可能引起悖论。

塔斯基定理几乎与哥德尔定理在同一时间被证明,包含着许多共同的内容。近些年人们认为塔斯基定理值得更多的关注,因为哥德尔定理只是揭露数学系统里的局限性,在哲学层次不清晰,而塔斯基定理则找出问题出在语言固有的局限性,这不仅适用于数学,而且适用于由对角线引理导致自我指涉的任何系统。

为什么要花费时间研究语言的问题呢?因为哲学、科学、包括数学理论的表达和推导都是通过语言来进行的,语言出现的悖论也会在它们的理论中出现,语义悖论的解决方案同样有助于它们问题的解决。

由于这个定理,塔斯基提出要避免语义的悖论,必须把语言的表述功能和对语言的评判功能分开,任何语言都不应该说道自己写的句子,只能用高一级的语言来进行。这时被评判的称为“对象语言(object language)”,评判者称为“元语言(meta language)”,元语言具有对象语言的语法、逻辑关系等表达能力,再加上对对象语言的评判能力。例如,在对象语言可以说“雪是白的”,但不能说“‘雪是白的’是真的”,只能在元语言说这样的话,而(“‘雪是白的’是真的”是真的)只能在更高一级语言中说。这样我们就把语言分了层次,每一个层次的语言都不是语义上封闭的,不能说道自己。不谈自身就什么麻烦都没有了。

在这个规定下,所有的语句都不能指向自己,也不可能通过自我指涉链的传递,指向高阶的评判语句,这就解开了自我指涉,也就没有了这类的悖论。

那么如何定义真理呢?从塔斯基定理知道,在对象语言里不能包含T模式,说句子为真必须在元语言中。指称对象语言中一个句子为真的谓词(式子T)在元语言中表述,在元语言里定义了这个为真的谓词,它必须能够满足T模式所产生的例子,并且被元语言系统逻辑地证明。这可以通过满足所有T模式简单句,和定义它们逻辑连接词形成的复合句来实现。这样形式语言公理化的定义,可以通过一系列繁杂机械性的工作来完成了。这样子,L0语言里的句子,由元语言L1定义的T1谓词来评判它的真假,L1语言由高一级元语言L2里来描述并定义T2谓词,用L0L1L2L3,。。。,来表示层次结构里的语言,每个Ln里定义下面层次语句为真的谓词Tn,和其他层次的不是同一个词,每一个层次的语言都不是语义封闭的,以此来避免悖论。【3】【4

1985Yablo发现类似于谎言悖论,但不是自我指涉的语义悖论。他构造了一个无穷系列的句子链,每个句子都说后面的句子不对。即对于每个自然数i,定义Si =for all j>i, Sj is not true”。我们先用反证法证明没有一个句子是对的。如若不然,则有个iSi是对的。这句子说j>i之后的Sj都不对。特别有Si+1不对。否定了这句,那么至少有个k,k>i+1,句子Sk是对的了,但这与Si的断言相矛盾。这证明了每个句子都不对,包括S0。但如果是这样,则对所有 i>0Si都不对,S0说的便是事实,这又成了矛盾。

这个悖论没有通过一个闭合的链条指向自己,所以不是个自我指涉的悖论,发生悖论的原因是非well-founded的,即它具有无穷的包含关系。要阻止这类悖论,要求某些下降型的层次结构语言是well-founded的。

有了明确的语言层次结构,能够避免自我指涉等悖论的困境,大家高兴了几十年但新的问题又来了。

(待续)

 

【参考资料】

【1】WikipediaDiagonal lemma http://en.wikipedia.org/wiki/Diagonal_lemma

【2】WikipediaTarski's undefinability theorem http://en.wikipedia.org/wiki/Tarski%27s_undefinability_theorem

【3】 SEPTarski's Truth Definitions http://plato.stanford.edu/entries/tarski-truth/

【4】塔斯基的真理論 http://callmecallme.blogspot.com/2007/02/blog-post.html

 



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IP: 180.156.186.*   | 赞 +1 [7]icgwang   2014-12-24 11:22
词递归层面是个算术系统,句递归层面(T模式)是个逻辑证明系统,这两个自指层面不能自我撞着!否则会在句层面出现悖论即真则假或者假则真的震荡现象。这个不动点原理或者对角线法结论揭示的是一种有关谓词真判断句可以直接自反的悖论存在性,结论是“真”不可以在系统内形式化定义和证明,必须升阶(进入元语言层面)后再回指自述。计算机进入死循环我们并不会感觉难受(也许计算机会感觉很“悖”),形式语言的升阶扩展恰好是一个对象化行为系统的语义发育和语义自展示的开放无限过程——正如我们可以在计算机世界里虚拟地造出整个世界来的幻想一样会无限膨胀,不仅仅是智慧可以对象化,生命也可以对象化虚拟出来!
IP: 211.166.78.*   | 赞 +1 [6]qygrswg   2013-11-25 00:10
回4楼博主回复,
        关于对角线法,最早曾经与博主有些讨论,但没有进行下去。待博主新文谈到这个问题时,我再发言好了。
IP: 159.226.79.*   | 赞 +1 [5]王国强   2013-11-22 08:12
很有教益,很有启发!
自我指涉,自我纠缠,在基础科学---数学和物理中,一直是个大问题。
IP: 58.254.92.*   | 赞 +1 [4]许勇   2013-11-21 22:51
我的意思是这句话也是和他自身矛盾的
回复  马克思信奉辩证法,可以容纳一个矛盾的命题。

那句话如果没有“绝对的”三个字,是个悖论。有了它们就是辩证法自洽的表述。重言式绝对正确的是对二值逻辑而言。它不在辩证逻辑系统中构成反例。老马还是有点学问的。
2013-11-22 00:571 楼(回复楼主) 赞 +1 |
IP: 118.192.100.*   | 赞 +1 [3]qygrswg   2013-11-21 14:14
尽管我有时在有些观点上与博主不同,但博主是科学网少有的真正谈科学、数学、逻辑的人,也是搞科普的人。博主的文章很有价值!!,赞一个!!!
        塔斯基定理,又与对角线有关。可见是对角线导致了各种分层。但语言的分层明显是不得已之举。日常人们说话,谁会去分层?谁搞得清楚自己说的是第几层的语言?
回复  谢谢!这将在下一篇谈到。再下几篇将会逐步推进谈到你可能最感兴趣的对角线法等,什么时候是合法的,什么时候导致悖论。请关注。
2013-11-21 15:191 楼(回复楼主) 赞 +1 |
回复  谢谢!这将在下一篇谈到。再下几篇将会逐步推进谈到你可能最感兴趣的对角线法等,什么时候是合法的,什么时候导致悖论。请关注。
2013-11-21 15:192 楼(回复楼主) 赞 +1 |
IP: 58.254.92.*   | 赞 +1 [2]许勇   2013-11-21 12:35
老师,马克思主义哲学中有一句话“没有绝对的真理”是不是也有嫌疑呢,个人认为是有的……
回复  重言式的句子,比如说:“如果A则A” 是绝对的逻辑真理。
2013-11-21 12:481 楼(回复楼主) 赞 +1 |
IP: 222.161.201.*   | 赞 +1 [1]田云川   2013-11-21 11:41
好文!
悖论是可以消除的。

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