无歧义严谨定义的形式语言，现在已经广泛应用在计算机程序语言和数学公理表达中。塔斯基是先驱之一。他严格定义的T模式，让我们可以用数理逻辑的理论，来研究与真理有关的问题。在数理逻辑中，有个著名的“对角线引理”，或称为“不动点定理”，【1】如下：

设S是包含着一阶算术的理论，对任给公式φ(x)存在一个句子ψ，有 S ⊢ψ↔φ<ψ>.

这里“包含着一阶算术的理论”指包含着算术公理用一阶逻辑推出的命题集合，现在整个公理化数学系统已建立在这上面。凡能描述算术的形式语言也必须包含它。S ⊢ 的意思是：理论S中，能够证明右边的式子成立。这里φ<ψ>是φ(<ψ>)的简写，是评判句子ψ具有φ性质的谓词表达式。这个引理的大意是：对于能够谈算术讲逻辑的语言，任给一个用来判定句子的属性φ，总能写出自我指涉的一句话ψ，说自己具有这个属性φ。用自然语言表达ψ就是：“这句子具有属性φ”。不过这里的ψ是用形式语言表达出来，在理论S里证明它逻辑上是这个意思。用它构造个谎言悖论可以证明一个重要的定理。【2】

塔斯基定理：任何包含着一阶算术的理论，也包含了T模式，则是不相容的。（Any theory extending first-order arithmetic and containing schema T is inconsistent.）

有了这个对角线引理，它的证明很简单。如果这个理论也包含T模式，谓词T在这里是个公式，它的否定¬T也是个公式，根据对角线引理，存在着一个句子ψ，在这个理论里有：ψ↔ ¬T <ψ>。但按T模式，则有ψ↔ T <ψ>，得出T <ψ> ↔ ¬T <ψ>，说明这理论里有矛盾，不是自洽的。

这个定理也称为“Tarski's undefinability theorem”，它指出了语言定义能力的局限性，任何足够丰富包含算术的语言，都不足以无矛盾地解释它所能表达句子的语义，句子的语义必须在更丰富的高阶语言来表达，否则就可能引起悖论。

塔斯基定理几乎与哥德尔定理在同一时间被证明，包含着许多共同的内容。近些年人们认为塔斯基定理值得更多的关注，因为哥德尔定理只是揭露数学系统里的局限性，在哲学层次不清晰，而塔斯基定理则找出问题出在语言固有的局限性，这不仅适用于数学，而且适用于由对角线引理导致自我指涉的任何系统。

为什么要花费时间研究语言的问题呢？因为哲学、科学、包括数学理论的表达和推导都是通过语言来进行的，语言出现的悖论也会在它们的理论中出现，语义悖论的解决方案同样有助于它们问题的解决。

由于这个定理，塔斯基提出要避免语义的悖论，必须把语言的表述功能和对语言的评判功能分开，任何语言都不应该说道自己写的句子，只能用高一级的语言来进行。这时被评判的称为“对象语言（object language）”，评判者称为“元语言(meta language)”，元语言具有对象语言的语法、逻辑关系等表达能力，再加上对对象语言的评判能力。例如，在对象语言可以说“雪是白的”，但不能说“‘雪是白的’是真的”，只能在元语言说这样的话，而（“‘雪是白的’是真的”是真的）只能在更高一级语言中说。这样我们就把语言分了层次，每一个层次的语言都不是语义上封闭的，不能说道自己。不谈自身就什么麻烦都没有了。

在这个规定下，所有的语句都不能指向自己，也不可能通过自我指涉链的传递，指向高阶的评判语句，这就解开了自我指涉，也就没有了这类的悖论。

那么如何定义真理呢？从塔斯基定理知道，在对象语言里不能包含T模式，说句子为真必须在元语言中。指称对象语言中一个句子为真的谓词（式子T）在元语言中表述，在元语言里定义了这个为真的谓词，它必须能够满足T模式所产生的例子，并且被元语言系统逻辑地证明。这可以通过满足所有T模式简单句，和定义它们逻辑连接词形成的复合句来实现。这样形式语言公理化的定义，可以通过一系列繁杂机械性的工作来完成了。这样子，L₀语言里的句子，由元语言L₁定义的T₁谓词来评判它的真假，L₁语言由高一级元语言L₂里来描述并定义T₂谓词，用L₀，L₁，L₂，L₃，。。。，来表示层次结构里的语言，每个L_n里定义下面层次语句为真的谓词T_n，和其他层次的不是同一个词，每一个层次的语言都不是语义封闭的，以此来避免悖论。【3】【4】

在1985年Yablo发现类似于谎言悖论，但不是自我指涉的语义悖论。他构造了一个无穷系列的句子链，每个句子都说后面的句子不对。即对于每个自然数i，定义S_i =“for all j>i, S_j is not true”。我们先用反证法证明没有一个句子是对的。如若不然，则有个i，S_i是对的。这句子说j>i之后的S_j都不对。特别有S_i+1不对。否定了这句，那么至少有个k，k>i+1，句子S_k是对的了，但这与S_i的断言相矛盾。这证明了每个句子都不对，包括S₀。但如果是这样，则对所有 i>0，S_i都不对，S₀说的便是事实，这又成了矛盾。

这个悖论没有通过一个闭合的链条指向自己，所以不是个自我指涉的悖论，发生悖论的原因是非well-founded的，即它具有无穷的包含关系。要阻止这类悖论，要求某些下降型的层次结构语言是well-founded的。

有了明确的语言层次结构，能够避免自我指涉等悖论的困境，大家高兴了几十年，但新的问题又来了。

（待续）

【参考资料】

【1】Wikipedia，Diagonal lemma http://en.wikipedia.org/wiki/Diagonal_lemma

【2】Wikipedia，Tarski's undefinability theorem http://en.wikipedia.org/wiki/Tarski%27s_undefinability_theorem

【3】 SEP，Tarski's Truth Definitions http://plato.stanford.edu/entries/tarski-truth/

【4】塔斯基的真理論 http://callmecallme.blogspot.com/2007/02/blog-post.html