董明提出一个很有意思的数学模型问题，说网购了几本书，收到发货通知后，儿子天天问“今天书会不会到”。刚开始他回答：“可能，机会比昨天大一点。”心中想的是每一天到货的概率分布，这概率密度是类似于正态分布的曲线。按照这个模型，前几天没收到书，今天收到书的概率会越来越大，最后儿子问：“要是一直不来，那十年后，可能性是不是就大得不得了？”他回答：“那书可能就再也来不了，寄丢了。”

问题是：什么样的数学模型可以用来描述这个现象？

这显然可以用一个概率的模型来回答，但它的挑战不在于如何得出准确的曲线，这不难通过统计实验来得到。真正的问题应该是：怎样通过分析，用已有的知识来构造这个数学模型？它首先能定性地解答心中的疑惑，需要时可以细化，定量地给出预测。这功力在于对数学概念的理解和演绎推理的应用，而不是把整个问题不加分析地推给实验来解答。

问题的核心是怎样把正常邮递和丢失情况综合起来，用数学模型反映出，还没收到邮件等待时，对当天收到邮件的预测。

这可以由两个概率子模型组成，一个是在正常邮递时（事件A），从得到通知之日起，至今n天没有收到邮件（事件n），但今天（第n+1天）收到了邮件（事件$D_n$）的概率$P(D_n|A,n)$；另一个是，前n天没有收到邮件，还是正常邮递的可能性$P(A|n)$；因为寄丢了情况（事件B）是不可能收到邮件的，$P(D_n|B)=0$，那么前n天没有收到邮件，今天收到的概率则是：$P(D_n|n)=P(D_n|A,n)P(A|n)$。它就是这个问题模型的公式了。

对于正常邮递情况下，哪一天收到邮件的概率，是以通知中的预测到达日期为峰值，类似于正态分布离散的钟形曲线$f(D_n)$。由此不难得知$P(D_n|A,n)$是随着n增大趋近于1的曲线。$P(A|n)$的含义是前n天没有收到邮件，不是寄丢了的概率，凭经验就可以知道这是个随n增加而趋近于0的曲线。综合这两者，不需要进一步的研究，就可以定性地解答等待邮件的问题了。

有人说，这只不过把常识藏在数学式子里，没什么意义！

这是没学好数学的人，对于数学应用的理解。数学模型首先是平凡的，必须符合实践中的事实，它把实践中的问题分解成数学上已知的问题，需要时可以进一步细化求解。

比如说这不是个人邮购等书了，而是重大事件或者是商业运行环节，值得细化研究其定量结果。我们来看怎么用这个数学模型进行细化计算。

对于正常邮递，邮件到达的概率分布已经有很多的研究，这不是关注的重点。函数$f(D_n)$是可以从其他地方可以抄来，或自己推算的先验概率，按定义有$P(D_n|A)=f(D_n)$，从已知的事件从这个先验的概率算出后验的概率，用贝叶斯公式来计算，注意到事件$D_n$和n的含义，有$ P(n|D_i)=0$ if $i<n$ otherwise $ P(n|D_i)=1$，得到公式：

$P(D_n|A,n)=P(D_n|A)P(n|D_n)/\sum_{i=0}^{\infty}P(D_i|A)P(n|D_i)=f(D_n)/\sum_{i=n}^{\infty}f(D_i)$

从估计会正常邮递到丢失了的认知过程，是由概率$P(A|n)$来反映，我们知道$P(A|n)$的含义是：前n天没有收到邮件，还是正常邮递情况的可能性。从贝叶斯公式：

$P(A|n)= P(n|A)P(A)/ (P(n|A)P(A)+ P(n|B)P(B))$

$P(A)$是正常邮递的先验概率，比如说0.99，$P(B)=1-P(A)$ 和$P(n|B)=1$，我们有：

$ P(A|n)= P(n|A)P(A)/(P(n|A))P(A)+1-P(A))$ 

这里 $P(n|A)=\prod_{i=0}^{n-1}(1-f(D_i))$ （注：这个等式不精确，见【后记】）

可以看出正常邮递的概率是随着没收到邮件的日子增加趋近于0的曲线。

这样得出了公式。前n天没有收到邮件，今天收到的概率是：（注：纠错后这公式可以化简，见【后记】）

$P(D_n|n)=(f(D_n)/\sum_{i=n}^{\infty}f(D_i))\prod_{i=0}^{n-1}(1-f(D_i))P(A)/(\prod_{i=0}^{n-1}(1-f(D_i))P(A)+1-P(A))$

这是随着时间先上升，过了通知中的预测到达日期后不久下滑趋近于0的曲线。你在等待的过程中，可以用它来估算当天收到包裹的概率。

你也许会问：这个概率的密度曲线是什么？这能有吗？想不通的，查一下定义。

【后记】贴于评论12，点击2284后

写这篇博文意在于例示建立数学模型的思路、细化和用途。贴出后，徐晓指出计算$P(n|A)=\prod_{i=0}^{n-1}(1-f(D_i))$有问题，这里$(1-f(D_i))$不是独立的，不能用在连乘，正确的计算应该是$P(n|A)=1-\sum_{i=0}^{n-1}f(D_i)$，也即是博文在计算$P(D_n|A,n)$的式子中的$\sum_{i=n}^{\infty}f(D_i)$，这也可以从$P(D_n|A,n)=P(D_n|A)/P(n|A)$中看到。将这个纠错后的式子代入综合的公式后，约减后的结果与徐晓的结果一样，它是：

$P(D_n|n)=f(D_n)P(A)/(1- P(A)(\sum_{i=0}^{n-1}f(D_i))$

徐晓推算这个式子时，直接应用形式推理，非常简洁漂亮，建议对这问题有兴趣的读者，看他的博文《与应行仁老师探讨：邮件问题》。

对于正确建立数学模型，合理的抽象是个关键，在这里是事件A，n和$D_n$的定义，有了它们后$P(D_n|n)$便是描述问题的数学模型，后面的只是数学计算。把它分解成$P(D_n|A,n)P(A|n)$能让这模型的结构更直观，也针对董明的疑惑，借用常规的概率问题的结果，不需要深入研究它们的细节就可以定性地解答。如果不加分解直接对这个数学模型计算，注意到事件$D_n$蕴含着事件A和n，就有：

$P(D_n|n)=P(D_n,n)/P(n)=P(D_n)/P(n)=P(D_nA)/P(n)=P(D_n|A)P(A)/P(n)$

这个思路和徐晓的一样，代入$P(D_n|A)=f(D_n)$和$P(n)=P(A)P(n|A)+1-P(A)$的表达式就能得出上述的结果。

为什么分解式$P(D_n|n)=P(D_n|A,n)P(A|n)$也会得出一样的结果呢？

这分解式是直接从概率的概念出发在n约束环境下的条件概率式子，在形式推理里：

$P(D_n|n)=P(D_n,n)/P(n)=P(D_n,A,n)/P(n)=P(D_n|A,n)P(A,n)/P(n)=P(D_n|A,n)P(A|n)$

学习数学时，掌握概念和推理是同等的重要，当你数学概念的想象和形式推理一致时，才算正确地掌握了概念，能够同时应用概念的想象和形式推理就是到达了自由王国。

谢谢徐晓纠正$P(n|A)$式子的错误！