无穷在推理上的麻烦，不仅仅在涉及到逻辑中的排中律，还在于涉及到无穷个抽象对象和无穷步的推理过程。说到底，这是因为人们不能想象无穷，可能的想象只是模拟有限时的经验，没有事实可以支撑你的想象。所以只能依靠逻辑。但逻辑的推测还是要站在坚实的地面上，才能让人放心。

关于无穷的思考，最早并且影响至深的是古希腊的芝诺（Zeno 490BC-435BC）。他的“阿基里斯与乌龟的悖论”不断地困扰着爱思考的人们，至今仍然没有完全解决。当时就有两种观点，一是认为无穷只是个过程，不是个可以对其运算考察的数学实体，就像自然数不断增长并无上限，但无论多大的数都是有限的，人们只能考察这些有限的数，这是“潜无穷”的观点。另一派认为无穷可以是个数学的实体，就像“自然数的整体”，无穷位的小数，没有它就说不清一些事，必须研究它的性质，这叫“实无穷”。问题在于这个抽象的无穷实体和抽象的有限实体间有个逻辑间隙，我们只了解有限的东西，永远不能触及无穷，怎样把它们联系起来？怎么跨越潜无穷和实无穷的间隙？

第一个想用计算证明，在有限距离内可以赶上乌龟的，是阿基米德（Archimedes 212BC），他是个实干重技巧的人，他说阿基里斯跑得比乌龟快，比如说是10倍，阿基里斯跑1尺到了乌龟的位置，乌龟往前爬了0.1尺，阿基里斯又跑了0.1尺，乌龟又爬了0.01尺，这样阿基里斯离乌龟越来越近，只要算出这个无穷步全部的距离，就知道他在什么地方赶上乌龟。阿基里斯赶上乌龟时一共跑了1+0.1+0.01+0.001+…，这距离 1.11111... 到底是多少呢？假设x=1+0.1+0.01+0.001+…，将两边乘10，就有10x=10+1+0.1+0.01+0.001+…，左边10后面的项是x，所以10x=10+x，解这个方程，得出 x =10/9。同理，如果阿基里斯跑得是乌龟r倍，初始距离是s，就有rx=sr+x，得到了 x = sr/(r-1)。且不说这是不是在逻辑的追上，他确实是第一个计算了这无穷多项数字的和。他的根据是类比于有限情况下的处理方法，有限数字项是可以这样算，无穷多项他也这样算。

1703年，意大利数学家格蓝迪问大家1-1+1-1+1-1+…，等于多少？与阿基米德同样聪明的数学王子欧拉假设x=1-1+1-1+1-1+…，推出 x=1-x，他得出格蓝迪级数的欧拉和是1/2。有人说，这样玩呀？我也会！根据加法的结合律，我有x=(1-1)+(1-1)+(1-1)+…=0+0+0+…=0，还可以有x=1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+…=1+0+0+0+…=1。这格蓝迪级数到底是0、1/2还是1？从17世纪微积分时代，直到建立级数收敛的概念为止，数学家为此争论不休。

牛顿和萊布尼茲把无穷小量看着是个数学的实体，定义它们的比为导数，定义无穷多个无穷小量的加权和为积分。发明了微积分这个威力无比的利器。

从阿基米德、欧拉到牛顿、莱布尼茨，他们都把这无穷项的累加值，或无穷多项的加法等等的计算，看成类似于有限的实体或过程进行运算。这很直观、有效、出成果。但是，为什么能够把有限运算的方法，直接用到无穷？这显然是没有充分根据的。许多人用相同的观点和类似的方法得出五花八门互相矛盾的结果。至今还见人们喜欢用类似的方法，天马行空地解了世界难题或批了著名定理，大抵都是出自这类的联想。贝克莱质问这无穷小量究竟是不是0？在牛顿的处理上一会儿是0，一会儿不是0。这明显违反了同一律或矛盾律。一直到了后来用极限的概念建立起收敛性，才结束了这种混乱。

所谓的极限，就是按照考察属性的精度画个圈，这无穷的序列刨去最初有限多个以后，全部进入这个圈里，我们就不用细分考究它们了，反正在这圈里任何个体按照这个精度在属性上没什么区别，随便拿一个都可以代表其他，这是在有限的情况就能做的事。如果总能以任何精细的程度做到这一点，而且在讨论的空间里有一个这样的个体，它都在这些圈子里，就称它为“极限”，这个序列“收敛”于它。我们就能以任何精度来说明这无穷系列极限的数学属性，就如我们习惯了对待无穷小数那样，例如 1.11111...。格蓝迪级数只能划在0到1的圈里，更细的做不到，这不收敛。这里的无穷的极限只是个用有限来不断细化考察的过程，不是像一个数学实体那样来对待，这是“潜无穷”的理念。精细、严谨只是有点绕，不那么直接好用。19世纪上半叶，柯西用潜无穷的观念发展出这个极限概念，驱逐了实无穷，重铸了分析的基础。那些缺乏根据，直接套用有限情况下方法得出来华丽眩亮似是而非的成果，全被扫进垃圾堆，受到了嘲笑。

但是柯西的极限概念，还没有完全摆脱几何的直观。后人将它建立在彻底严密的数和连续函数概念上时，柯西序列和不连续函数又不可避免地涉及到无穷的点集。康托尔早期的研究是一般函数三角级数表达式的唯一性问题，1872年他将海涅提出的一致收敛的条件减弱为函数具有无穷个间断点的情况，这又将无穷点集作为实体的概念带回来了。康托尔是近代开始认真研究无穷实体的人。19世纪是潜无穷的天下，实无穷已经被清算，这需要非凡的想象力和勇气。

康托尔的集合论把无穷看着数学的实体，应用一一映射的概念和逻辑的方法来研究其中的结构和属性。康托尔的导师之一克罗内克对此极为反感，从研究的对象到使用的方法，无一不在他厌恶之列。当时柏林是数学的中心，克罗内克是柏林学派的领袖，数学里意识形态的掌门人，他强调能行性，说：“上帝创造了自然数，别的都是人造的。而整数在直观上是清楚的，故可以接受，其他则是可疑。”只有能被构造出来的东西才有意义。他认为康托尔和一些人的定理都只是符号游戏，没实际的意义。当时数学界的几位大佬，德国的知觉主义者魏尔认为，康托尔把无穷分成等级是雾上之雾。法国的庞加莱预言：我们的“后一代将把集合论当作一种疾病”。20 世纪初，庞加莱、包瑞尔、勒贝格、鲁金等半直觉主义或法国经验主义都站在能行性的观念一边。克罗内克的打压让集合论受到排斥，直到克罗内克去世后康托尔的处境才开始好转，长期的苦思和刺激让他精神分裂，1918年他在精神病院中去世。然而集合论引发了数学的革命，在戴德金、米大格、霍尔维次的坚持，希尔伯特强力的捍卫，和后来法国一群年轻数学家组成的布尔巴基学派的实干下，集合论成为了现代数学的基础。

当集合论被数学界的主流接受，并在罗素的数学原理和希尔伯特雄心勃勃的计划中扮演重要的角色时，布劳威尔提出直觉主义的主张，要推翻这场革命。他早在1907年博士论文《数学的基础》开始，继承先驱们的理念，以“存在即是被构造”为口号，他认为数学不依赖于逻辑和语言经验，而是的“原始直觉”，数学判断是永恒的真理而不是一组假设的推断。要用自然数而不是集合论来重建这个数学基础。布劳威尔是一位数学天才，1921年31岁时，因为在拓扑学里以他命名的不动点原理成为荷兰皇家科学院成员，当时他与最有影响力的数学家希尔伯特惺惺相惜。

早期以牛顿为代表的实无穷派，只是不加区别借用有限情况的数学经验闯进无穷的领域，柯西用比较严谨的潜无穷的极限方法清理了混乱，赋予这些成果的合法性，同时也驱逐了实无穷。康托尔用严谨的逻辑在集合论里研究无穷的实体，破除了连续光滑等较强要求的局限，让分析的成果真正摆脱拘束，放心地应用，掀起一场革命铸造了现代数学的基础。布劳威尔质疑在无穷领域革命中使用排中律的合法性，企图复辟潜无穷的统治。

这本来只是在数学领域的不同政见，然而，他愤世嫉俗、固执敏感、以正义为名粗暴地推行他的理念，连德高望重的数学主编克莱因都在他攻击下不能共事。1920年，布劳威尔声称“将排中律用作数学证明的一部分，是不允许的”。极为讽刺地是，他赖以成名的不动点原理却是用了排中律的证明。他在后来的论文中指出，从直觉主义的观点来看，这个早期的拓扑研究是不正确的。希尔伯特终于忍无可忍，回应道：“把排中律排除在数学之外，就像禁止拳手使用拳头。”这个严重的分歧，造成数学界思想的混乱，让他们两人都觉得数学处于一种危机中，都认为自己是责无旁贷的挽救者。希尔伯特悲愤地说“如果数学失败了，人类的精神也会失败。”认为布劳威尔在发动一场政变。1928年的秋，《数学年鉴》主编之一希尔伯特提出，要辞退编辑布劳威尔。主编之一的爱因斯坦对希尔伯特说“做你认为该做的”，但婉拒签名，保持中立。直观主义的倾向被当时数学领军人物希尔伯特压制下来了。这回轮到潜无穷学派政治不正确，布劳威尔也在打压下失去了对数学主流的影响力，更加愤世嫉俗、充满着正义感的狂热，1951年他从大学退休，在世界各地演说，1966年死于车祸。

回顾这一段百年数学惨烈的斗争史，是让大家了解在无穷领域里的推理要非常的小心。现在的系统并不是权威们简单的公理设立，而是经历过对立观点激烈批评争议，是在斗争、考验、坚守过的资产。两派之间的观点在逻辑上其实无关对错，只是不同的价值取向。有限主义、直观主义、构造主义潜无穷这派，比较保守，只承认像自然数这样过程中的无穷，推崇在证明中提供具体方法，有着实例的“构造性证明”。在他们看来真实性和证明是等同的，这就将近代一系列数学成果排除在外。现代的数学基于集合论，人们不像过去一样简单地把无穷和有限对象混为一谈，只是在逻辑上允许应用排中律，有选择公理可以在无穷集合里挑出一个元素。在一些非常基本的假设下，百年来得出非常丰富的结果。长期安定团结和平的磨合，现代的数学结构主义再不像前辈们那样的激进地制造冲突，也不认为数学只是直观，他们埋头工作，1967年Bishop的“构造性分析学基础”在构造性的框架中发展出传统分析学的大部分内容，但是他的书比经典分析更加复杂。在另一端，鲁宾孙1960年代初，用更彻底的实无穷理念，提出非标准分析，重回莱布尼茨的无穷小分析的思路。数学界的主流在集合论基础上并不放弃潜无穷极限收敛的概念，毕竟实无穷只是强调无穷可以是数学的实体，并不排斥无穷的过程。

读史使人明智，但也可能产生“彼可取而代之”的豪气。当你是个孩子时，应当嘉勉：“You can do it！”有志于此的成年人，就要脚踏实地，养成做研究的功力，你至少能在学术批评中自省，不再迷失在廉价的鼓励中，只有站在前人的肩上，你才可能望见曙光。

数学是纯粹演绎推理的学问，一切的对错最终只凭逻辑来评判。即便如此，脱离霍布斯丛林的文明社会都有规则，才能发挥出群体合作的力量。秩序，是力量均衡的状态。就像潜无穷和实无穷两派的观念对立互补，在冲突中互相制衡，激励发展，每个时代总有一派占据主导成为显学，独具风骚。当不同于主流观念的革新思想，挟突破性的发现撼动大众时，革命便起，主仆易位，呼啸横扫积弊。无论那派占据主导后，都要制止混乱，扩大战果，在稳定中发展。这是系统得以有效发展的规律，也是作为先驱、殉道者康托尔和布劳威尔不可避免遭遇打击的原因。变革是要越过一定的门槛才能前行，越是重大，面对的壁垒越高，仅仅真理在握，激情澎湃是不够的，你必须带来足够的进步，经历住挑剔的考验来证明其价值。科学的发展没有一定的路径，就像生物在自然选择压力下的进化没有绝对的方向，就看基因是否经得起淘汰，能否适应环境来发展。

将军百战死，壮士十年归；沉舟侧畔千帆过，病树前头万木春。

（待续）