应用在生活中的朴素逻辑，也有一些很有说服力的推理，比如说：“张三比李四更怂，李四见他都像孙子，张三见了还不尿裤子？”在形式逻辑推理中，因为滤除了形容词和副词，逻辑只有对错两种状态，无从应用比较。非黑即白的原因是“排中律”。

排中律要求在同一个思维过程中，两个相互矛盾的判断不能同时为假的，其中必有一真，没有第三种可能。对一个概念属性的判断不能模棱两可。当做不到这有点时，将概念约束细化来分开不同的类别，以能得到明确的判断。所以西方的科学称为精细的学问，精细准确的分类，让归纳得以实现，逻辑的演绎能够通行。当讨论的对象是有限时，原则上可以逐个检验，不断细化概念，所以总是可以做到这一点。这让科学的研究细致而准确，在众多人力长时间合作下，累积出丰硕的结果。中国的哲理推崇万法归宗“道”的领悟，用触类旁通反馈纠正的原理，一法通则万法通，修炼的是觉悟和境界。吃饭用一双筷子，切菜一把刀，医国与医人道理相通，兵法谋略与天地万物同理，不像西方饭桌厨房工具一大堆，各有所精，每个只对一种情况。能包罗万象的概念自然要容纳不同的判断，所以在推理规则中没有排中律，演绎不宜细远，发展出与西方不同的一套研究事物、指导实践的方法和理论体系，这个体系的成果自然不可能装入用排中律切细概念的科学框架中。但这体系自有不被这科学眼光承认的价值和成果，这是另外的题目，说来话长，不在这里细说了。

同一律让命题意有所指，矛盾律要保持自洽，充足理由律是推理要遵守规则，数学家对此皆无异议。排中律对于有限的情况，自然是必须的，否则就没这科学。当数学把眼光投向无限时，因为无限的划分仍然逃脱不了无限，细分不能着力，抽象就难以捉摸了。有部分数学家对在无限时能否用排中律表示怀疑了。康托尔奠定了集合论的基础，用“势”来区分无穷，在1891年对实数不可数的证明引起了争议。这个证明如下：

假如实数是可数的，在（0，1）区间任何一个实数r对应着一个自然数n，记为$r_n$，按这顺序排成一个序列，表中第n个实数就可以表示为$r_n=0.a_{n_1}a_{n_2}a_{n_3}…$，这里$a_{n_k}$是序列中$r_n$的第k位小数的数字。现在定义一个新的实数$b=0.b_1b_2b_3…$，它是这样构造的，从第一位小数k=1开始，对照着这个表逐个给$b_k$赋值，如果$a_{k_k}=2$，则$b_k=1$，否则令$b_k=2$。因为b的每一位小数都和顺序表中任何一个实数的那位小数都不一样，这个b是不可能在这表中。但顺序表假定是列出了所有（0，1）区间的实数。这个矛盾证明了实数是不可数的。

在这里的逻辑是：要证明一个正命题，先假设反命题成立，按反命题成立的性质，推出了矛盾，因此反命题是假。正命题和反命题是互相矛盾的判断，根据排中律不能同时为假，所以正命题成立。这个证明手法叫“反证法”。

这个证明十分简洁，前面是构造性的，每一步都简单明确，无懈可击，唯有在反命题为假时，推出正命题为真，用了排中律。数学的直觉主义反对把排中律运用于无穷集合上，也就是说在无穷情况下，不能用反证法。抽去了反证法这个支柱，集合论的大厦轰然崩溃，现代数学的大部分结果都要重新考证。这个倾向被当时数学领军人物希尔伯特压制下来了。但在无穷时的证明始终是数学家的心病，能用可靠的构造性方法，就尽量避免用有疑虑的方法。

国内有些数学爱好者，不反对排中律，但质疑上面证明中构造的方法，认为这方法与罗素悖论相似，像诡辩。这是缺乏精细的思辨。这个证明构造性的技巧叫“对角线法”，非常有名，被后人在许多重要定理证明中模仿，包括哥德尔定理的证明，颇有奇效。这个不同凡响的技巧值得认真研讨。我们来剖析这机巧方法的结构。罗素的悖论是这样的：

用一个集合能否包含它自己这个属性，把集合的全体$P$分成非空的两类：一类是不包含自己作为元素的集合，记为$P_1=\{x \in P|x\notin x\}$，另一类是包含自己作为元素的集合，记为$P_2=\{x \in P|x\in x\}$。这$P_1$也是个集合，它必定属于其中的某一类。如果它属于$P_2$，按$P_2$的定义有$P_1\in P_1$，但按$P_1$自己的定义是$P_1\notin P_1$。如果$P_1$属于$P_1$，即$P_1\in P_1$，但是按$P_1$的定义说$P_1\notin P_1$。这就是说无论哪一种情况，我们都同时有这两个矛盾的性质，按矛盾律这是不可能的。

罗素把这悖论用通俗的语言写成“理发师悖论”：

理发师在村子里宣布，他给而且只给村里不是自己理发的人理发，有人问：你给不给自己理发？这就陷入两难的局面。如果他不给自己理发，按他宣言他得给自己理发；如果他给自己理发又违背了他宣布的原则。

悖论让人困惑，让思辨处在两难的状态。对待悖论有两种态度，一是觉得荒谬绝伦，自己又想不通错在哪里，骂一声谬论，以后遇到绕着走，就洗洗睡了，这是国人的传统。中国两千多年前，形式逻辑的产生基本与欧洲同时。代表学派有墨家与名家。对于逻辑思考，名家惠施、公孙龙提出一系列悖论，所向辟易，莫人能辩，阴阳家邹衍以“烦文以相假，饰辞以相敦，巧譬以相移，引人使不得及其意，如此害大道”，用务实为名不和他辩，说动了公孙龙的门主赵国平原君，从此大家见了悖论都斥一声诡辩，结果没人对形式逻辑思考认真了，这阻碍了逻辑的发展。结果希腊发展了形而上学，印度也有了相似的因明学，中国停滞了形式逻辑走上另外一条推理的路。

对悖论的另一态度是认真思索，找出症结和解决方案来。罗素悖论的根据除了定义就是矛盾律，矛盾律不可动摇，能够下手的就剩下定义。这定义用到自我指涉（self-reference），简单的想法是禁止自我指涉，这当然能消除悖论。但自我指涉在生活语言中已经大量应用，例如“我告诉小张，我去他那里时别再烦我了。”数学里的方程，例如$x=f(x)$，都是自我指涉，可见禁止自我指涉不大现实，下面的例子还可以看到，即使不是直接指涉也会被间接涉及，所以禁无可禁。那剩下只有在集合概念里限制这种病态情况。各种公理化的集合论，都是通过某个公理直接或间接地不允许这样的集合存在来解决这问题。

康托尔定理说集合上所有子集集合（幂集）的势大于这集合。证明里技巧包含着罗素悖论结构，其证明如下：

康托尔定理(Cantor’s theorem)：集合$A$上所有子集的集合$\mathcal{P}(A)$的势要比$A$的势大，即$|\mathcal{P}(A)|>|A|$。换成幂集的符号便是$2^{|A|}>|A|$。

证明：设$a\in A$，令$F(a)=\{a\}$，$\{a\}\in\mathcal{P}(A)$，则$F$是$A$到$\mathcal{P}(A)$的一一映射，所以有|$\mathcal{P}$(A)|$\geqslant$|A|。假如|$\mathcal{P} (A)|=|A|$，这就存在着一个一一满映射$G: A\rightarrow P(A) $，对于每个$x\in A$，记$A_x=G(x)$，则有$\mathcal{P}(A)=\{A_x|x\in A\}$，定义$A$上的子集$B=\{x \in A|x\notin A_x\}$，则$B\in\mathcal{P}(A)$，按照假设，有一个$y\in A$，使得$B=A_y$，这时候问：$y$是不是属于$B$？如果答是， $ y \in B$，按照$B$的定义则有$y\notin A_y$，由$B=A_y$，所以$y\notin B$，反过来通过等式和$B$的定义也推出矛盾。这两者皆不对，按照排中律这是不允许的。按矛盾律，这假设不成立。所以|$\mathcal{P}(A)|>|A|$。

我们可以看出这证明核心的逻辑结构就是那个罗素悖论，只不过没有直接用自我指涉，用一一满映射间接做到了这一点。简言之，康托尔幂集势的证明，先假设定理的反命题成立，用一一满映射构造了罗素悖论情形。为什么这个悖论推倒了朴素集合论，却可以用来证明定理？因为一一满映射的假设导致了悖论。否定了这个假设，按排中律就要承认这个定理。

康托尔的实数不可数的证明，也是这个构造，不过是具体化了这个可数假设导致悖论的构造。罗素悖论则是在集合中构造出“我在撒谎”这个古老谎言悖论的自我纠缠逻辑。

这就是数学典型的一种工作方式，如果一个问题被详细研究了，把其他的问题转化成这个问题是个很有效率做研究的途径。所以有个笑话谈数学家的工作方式。

有个数学家申请救火队员工作，面试时考官问：“一个大楼失火了这么办？”数学家侃侃而谈，考官十分满意。又问：“如果冲进大楼发现没有火，怎么办？”数学家说：“在那儿生一把火，然后按照刚才讲过的情况办。

（待续）