要准确地使用概念，必须理解数学中的定义。定义中的概念是靠与已经定义过概念的相互逻辑关系来约束的，除此约束别无其他。

比如说实数，比较严格的是1872年德国戴德金的定义。他用集合理论作为基础开始定义自然数。势是集合一一满映射的等价类，自然数是集合的势。1的定义是只含有空集为元素集合的势，空集和1作为集合的元素定义了2，空集、1和2作为元素定义3，如同“道生一，一生二，二生三”，如此以往，生成了自然数。这样表达自然数的概念，比起说到3，搬出三根指头或三个苹果让你自悟，则是剥离了具体的事例，只含有与已知概念的逻辑关系。

在自然数N上定义了加法。考虑两个自然数成对的集合{ (m, n) | m, n∈N }，这集合里的任何两个元素（m, n）和(m’, n’) 满足 m + n’ = m’ + n 构成一个等价类，这等价类的集合叫整数，(n, n) 的等价类定义了0，(n+k, n) 定义了正数k，(n, n+k) 定义了负数–k。在这上面又可以定义加法和减法。所谓的“等价类”就是集合中的元素在某种关系下等价，把它们归为同一类的意思，把这具有相同性质的同类归结为一个概念，叫抽象，这样的描述叫定义。

相似于整数的定义，有理数是两个整数在给定一种乘法关系下的等价类。

实数是有理数和无理数的全体。无理数是用有理数来定义的，用个方法叫戴德金分割。他说：把有理数的全体划分成非空、不交、没有遗漏的A、B两类，B类中的每个数都大于A类的任何的数，A中没有最大的数，这叫一个分划。根据有理数的稠密性分划是可以做到的。这样子只有两种情况，B中有和没有最小数。如果B中有个最小数，这叫有理分划，如果B中没有最小数，这叫无理分划。每个无理分划定义一个无理数，它比A中所有的数大，比B中的所有数小。

比如说，√2，它把所有平方大于它的正有理数分到B类，其他的归为A类；B类没有最小数，所以它是无理数。

这样的定义，每个只用到前面定义过的概念，不涉及无穷的概念。比较明确也易于验证。

对于不是学数学的人，可能说这样的定义反而让我对熟悉的概念弄得是一头雾水。也许确是这样的，但它的好处是没有任何含糊不清的东西。不然，可能辩不清到底3是三根手指还是三个苹果，争不清楚1和0.999…是不是同一个数。对这样定义的概念，当看法有分歧时，可以一起用定义来检验，这可以一直追踪到没有分歧的共同基础为止。只要你有数学知识，愿意遵从逻辑，没有分不清的概念，没有谈不清的问题。

有人疑惑，既然每个定义都是用已知被定义过的概念来约束描述，那最初的概念是怎么定义的？

在形式化的公理体系中，最初原始的概念是个“原子”，只是个抽象的符号，名字而已，没有含义，不依靠别的概念来定义。将这些原子概念用逻辑联系起来的命题，称为公理，作为系统初始公共的假设，规范要谈论的范围。所谓“无名，天地之始；有名，万物之母。故常无，欲以观其妙；常有，欲以观其徼。”

百年前在罗素、希尔伯特和法国的布尔巴基学派的影响下，现代数学建立在集合论的基础上。当朴素的集合概念因为罗素悖论，发现仍有含糊不清时，又用了一阶逻辑来定义。集合的概念建立在几条公理上。原子概念的定义在逻辑上只是同语反复，靠的是它们间的互相约束关系。在形式公理化系统中每个命题只是一个形式逻辑语句，没有含义甚至没有真假值，如果用符号表示便是一个符合语法规则的符号串。形式演绎推理，便是将一些符号串和系统里公理的符号串，按照几个简单规则进行的机械操作，产生新的符号串。或者用自然的语言，将这些命题和公理在逻辑规则下推导出新的命题。

比如说在集合论的基础上，“开集”和“拓扑”的定义是这样的：在集合X上一族名为“开集”的子集，有下列的性质：1.开集的并集是开集，2.有限个开集的交集是开集，3.空集和X是开集。这族开集记为τ，叫X上的“拓扑”，称（X，τ）是一个拓扑空间，当不会混淆是哪个τ时，可以简称X是一个拓扑空间。

这样定义的好处是推理之时绝无含糊之处，任何人和机器在这机械的操作中绝对一致。缺点是不好想象。如果不是追根究底地了解一大串的定义，直到我想应用的概念，还真不知道是不是符合这定义。人们的思想来自直观的想象，这就需要一些例子把这些定义与人们的经验联系起来。比如说朴素的集合论，只有两个概念：元素和集合，集合是元素的总体，元素是集合的成员。这两句话是翻过来倒过去的，怕你拎不清时，就举例子来说明：一筐苹果是集合，苹果是元素。怕你以为集合只关水果的事，再说：大伯，小姨子，二姑婆，三孙子这一伙人是个集合，这每个人是元素。怕你以为只关物质，就说：自然数是集合，每个数都是元素。。。

有人糊涂了，我好不容易被你说服了，数学的抽象是彻底地剥离具体的事物，定义要摒弃任何直观，怎么又绕回来了？

人脑的记忆和运作是神经元的联系和触发，认知是具体事件的联想记忆，逻辑和抽象是后天养成的功力。抽象的概念，往往是由各人心中具体记忆所想支撑着，联系着无数的事例和它们的结果。剥离了具体事物的概念虽然干净的毫无误差，机器也能操作，但是以此来思考的人也像机器一样毫无灵感。用逻辑串起来的概念，联系单薄，难以记忆，不能望远。为了让你容易想象和记忆被定义的概念，用事例说明是最迅速和直观的办法。这就给原来只是逻辑联系起来的符号一种含义的解释，原来只是在语法组织起来的符号串或陈述句就有了语义。对抽象概念组成的一阶逻辑系统中，保持所有函数映射和逻辑对应关系的一套解释，称为一个模型。借助具体的模型可以帮助记忆、理解和指导这些概念的应用。

比如说，把实数集上的开区间和它们的可数次并集，看作是一类子集，不难检验这类子集有开集的性质，所以可认为它们是开集，这开集族是实数的一个拓扑，它们构成了拓扑空间，这也是大家在实分析中最习惯的概念，几乎认为所谓开集只是它了。在函数集合里可以用积分来定义距离，用距离来定义函数空间的开集，函数集合在这开集族下是个拓扑空间。概率的事件空间也可以定义它的开集，所以也构造了一个拓扑空间。你可以依照各个模型的解释，各自推演出结果。也可以定义了拓扑后，直接用它定义函数的连续性，由包含着含有某元素一个开集的集合来定义这元素的邻域，以此来定义收敛等等概念。把实数、函数，概率事件空间等各种抽象集合，具有某种结构的共同性质研究共治一炉。

你必须很清楚什么是严格定义的抽象概念，什么是解释定义的模型。数学系统不需要模型来支持它的概念定义和推理。严格的逻辑演绎不能使用具体事例的直观在推理中，这是一种数学训练出来的能力，也是数学上得出任何结论的要求，这要求使得数学的结论是满足严格定义下推理的一般结果，而不仅仅是只适用于一种模型的解释。

在应用数学的理论时，人们通常并不需要追究到原始的定义，尽可以利用一个模型解释的概念来应用相关的数学结论，运用这模型中已知的许多相关的知识来纠正理解的偏差。就像人们不用戴德金的实数定义，仅仅凭着头脑模糊不精确的概念照样应用有关实数的定理，直到你要研究探索它的细微之处，有疑义时需要精确的定义来分辨。模型的例子只是符合抽象定义的一个样本，当你利用它理解定义之后，就要寻找不同类别同样符合定义的例子来来消除样本片面想象的局限。

但直观是非常有用抽象概念的近似，可能帮助你给出推理的思路和方向。当论文发表时，作者往往抹去这种直观思路的痕迹，让读者集中在逻辑证明和推导中。在规则主导的世界，出自藏私和自保，作者常要省去不必要误导的麻烦，让你在理解中重构自己的直观，偏差的后果自负。

教科书中，每个章节后面都附有习题，这是帮助你用事例来熟悉介绍的概念，用这些练习建立起各种解释的模型。自学的人如果忽略了做习题，就不能准确地掌握概念，也不知道怎么应用。我在美国学习点集拓扑时，在国内已经学过实变函数，泛函分析，微分方程和概率论，有了这些丰富的材料作为事例，在习题中，如集合，序，邻域，收敛，空间等抽象的定义都可以用不同数学分支的例子和定理来说明这些概念，对这些基本的概念的掌握，要比没有它们来得深刻，应用起来就会比较自如。

（待续）