数学是做研究的人既爱又恨的内容，也是民间科学家最喜欢又常被拒之门外的挑战。若能从一般的原理出发经过数学演绎推导，发现了符合实践的规律，用公式简洁概括地描述，量化的计算如同魔术般地揭秘预测，这研究就有了高度，放在论文里点石成金。恨的是，上过的课一半还给了老师，翻书时头晕目眩，推理常有人挑刺，看别人论文里数学常觉得是故弄玄虚。

民科最喜欢是数学不靠设备不用烧钱，从问题到结论只凭推理不需旁证博引，只要心中自信头脑清晰逻辑过硬，面对院士也敢辩。数学命题对就是对，错就是错，争论可以逐条厘清直到不再含糊，结果贴在那里不需要权威认可，明白的人自有公断，戴什么帽子都没用，强词夺理的人最后羞辱的是自己。恨的是，秀出多年心血，往往鸡同鸭讲，不懂行话无法交流。

这里的矛盾多是在对数学抽象的理解上。

先看一个生活中的例子。画家赛加索急于用钱，把一幅得意之作贱卖了1000块钱给王二，不舍地对他说：你挣着了！十年之后，这画至少涨十倍。王二在客厅里挂了两天，除了他自己之外，大家都觉得像块抹布。王二把画交回退了800块，赛画家一周以后又把这画900块卖给王三。赛大师还是很高兴，认为这画按我的身份就值1000块，卖给王二是友情价不讲钱，现在低价转给王三，这800进900出，实实在在赚了100块。王二认为，老赛从我这儿赚了200，至于他和王三的，以物换钱谈不上谁挣谁亏。王三知道这过程后，直说加索黑，第一次交易赚了200，第二次把800的卖900，又赚100。这三人算的数分别是100、200和300，到底画家从这赚了多少？

应该说这三个人算的都对，也都不对。对的是，各自按照他们对“赚”这概念的理解，都没算错。错的是，如果“赚”是相对于材料的成本而言，这材料只值200块钱，他总共赚的是900块。

有人说这不怎么“数学”，我们懂。那看纯数学的。实数和复数，大家都觉得是概念很清楚的东西。最初是作为对代数方程解的扩张，把这扩张在有理数之外的实数称为无理数。笛卡尔认为一切数学的问题都是代数的问题，代数的问题是解方程的问题。按这逻辑，实数尽在于此了。实际上能够作为代数方程解实数（称为代数数）的数量，与不是代数数的超越数相比几乎可以忽略不计，当康托尔证明这个事实时，数学家们还没把握这些超越数是不是存在。这说明尽管我们通常都觉得很简单的概念，事实上并不了解。这通常并不造成问题，因为对人们熟知东西概念的认知偏差面前，无数的经验或事实能帮助你避开误区，直到你要进入不常遇见的情况，要挑战前人的观点时，你就有可能遇上了麻烦。

通常人们认为无理数是个含有无限不循环小数的数，这和含有有限的小数及无限循环的小数的有理数共同组成实数。这确实是无理数和实数的一个性质，但对于无限的想象是难以捉摸的。在难以想象的定义面前，一些属性没有经验和事实可以参考，必须严格依赖逻辑以求自洽，检验所有相关的定理不发生矛盾才行。有人要创造一种新的实数理论，说它是可数的，其现实背景是计算机的实数表达方式，理由是不能被数值计算的数没有现实的意义，加上一些原子论潜无穷等哲学思想，塑造成如同政治的观点一样，可以理直气壮地要求尊重的不同见解。但这其实是不了解真正实数概念的一种想法。表面上人们可以简单地否定实数不可数的性质，而代之以不同的规定，但是这样做，首先，与康托尔的证明，对角线法中反证法逻辑相冲突。其次，从可数的可加性就会推出任何区间的测度都是零，这就无法在上面建立积分和概率了。现代数学的实分析和利用反证法证明的定理全部都要作废。这样的新东西就不是人们所说的实数了。这样的思想也不是谈数学了。所以要挑战或深入引用概念时，最好还是要消化了解一下它在数学上的准确定义和本质，才不会做无谓的努力。

人们把心中的概念表达出来时，不仅要符合规范，蕴含着你所想说的意思，这抽象后的定义还要约束不同经验和思想的人不会产生另外的含义。

有人把“让世界充满爱”这个观念表达成“Let’s make love everywhere”，谷歌翻译也把它翻回中文“让我们的爱无处不在”，你是怎么看？

（待续）