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程吴五次方程解争论之科普 精选

已有 11123 次阅读 2013-3-13 07:45 |个人分类:科普|系统分类:科研笔记|关键词:五次方程解,程代展,吴中祥| 吴中祥, 程代展, 五次方程解

程代展写了篇《解方程的故事》,有人举吴中祥老师的文章《任意n次不可约方程的根式解》为例,认为他说“五次方程没有根式解”错了。吴老师也以讨论的态度邀读他的文章,程写了篇《五次方程到底有没有根式解?》指出其中两处错误。在这博文评论跟帖里激烈交锋,因为缺乏问题细节和专业概念,很多围观的人看了一头雾水,程兄希望我给大家普及一下有关的概念。原想贴在他博文评论里,只是长了点,有些数学符号也不好表达,就写在这里。

 

我这科普只涉及到中学代数知识,希望能把问题和争论说清楚。

 

他们的争论有两点,先说简单的。程指出吴老师文中:“当方程的整个求解过程中添加根式的最大指数n>4时,一般不可约代数方程没有根式解”是错误的。他举例说:不可约可解方程$x^5=2$的一个解$x=2^{1/5}$,就是根式解,不添加五次根式能行吗?所谓根式解就是将方程的系数通过有限次加、减、乘、除、开方(开任意次方) 将解表达出来。这在数学标准教科书都是如此,当然是对的。吴认为这是数,不是根式解,这方程也不需要根式解。其实程是借具体的例子,说明这句话不准确,当然他如果说 $x^{5} - a = 0$ $a>0$$x=a^{1/5}$,可能会不大容易误解。这一点也不是吴的核心利益,冷静下来明白了是什么意思,大可一笑放过。

 

争论的核心是下面的一个线性方程组,这是吴氏法的一个关键步骤。(引自程博文和吴的评论[34],他们表达式中都是$y_4=y_5$以及$a=b$,疑为笔误,这更不利于吴,我参照吴的博文改正过来)

 

吴氏法说:任意的5次不可约方程(消去其中的4次方项)的5个根,$y_1,y_2,y_3,y_4,y_5$都可以由4个任意参量:$z _1 , z_ 2 , z_ 3 , z_ 4$ 由下式来表示:

 

$y_1 =z_1 +z_2 +z_3 +z_4$ ,

$y_2 =az_1 +az_2 +bz_3 +bz_4$ ,

$y_3 =bz_1 +bz_2 +az_3 +az_4$ .

$y_4 =az_1 +bz_2 +az_3 +bz_4$ ,

$y_5 =bz_1 +az_2 +bz_3 +az_4$ ,

 

其中$a =(-1 - i\sqrt 3)/4$, $b =(-1 + i\sqrt 3)/4$,

 

吴认为:任意的5次不可约方程,消去其中的4次方项后,就有其5个根之和为0,只需4个能够满足此条件的任意参量,就完全能表达这5个根。因此再利用方程的各根与系数的关系式,建立起由这4个任意参量和方程各系数表达的的4个方程式。问:“为什么几乎所有五次方程的解不能表示成这种形式?”(读者如果略去这个表达式的由来,也不影响对争论的理解)

 

程代展指出:由这个线性的表达式,这4个任意参量是不能够来表示5个(即使减为4个线性独立的)方程的根,因为这线性方程的系数距阵的秩是3,所以这4个任意参量在这表达式下最多只能表示3个自由量。他用了个“测度为0”的术语,表示能够用这表达式求解的概率为0,即使是你运气好,碰到一个方程能够用这方法解出来,把这好运气的方程随便哪个参数变一点点,就不灵了。(听不懂这里面的道道也不要紧,读者可以跳过这句话。)他举一个实例:符合吴要求的,无4次方项的五次不可约方程$y^5-y^3=0$,它的解是{1-1000},它就不能够用上面的表达式用任意4个的参量z来表示,这是按中学代数知识就能够手算验证的。所以这个方程就不能够用吴氏法来解。从几何的直观来看,要把五次方程的根都线性投影到4维空间的3维超平面上是要运气好到了家。一般是做不到的。

 

这上面的分析都没有涉及到伽罗华理论,仅仅是针对吴老师文中线性表达这一方法,但这是解法中的关键之处。吴老师大约太注意防卫来自伽罗华理论方面的攻击,忽略了这个薄弱环节。我想他不是不懂,是太大意了。程的分析说:如果随机给出五次方程的系数,这方法能够灵的概率是0

 

还有一个疑问,吴老师说:程举的例子$y^5-y^3=0$,不是“通常所说的不可约的5次方程”,那什么是吴的“不可约”方程?查了他博文,似乎指其方程最高次项的系数为1,如果是这样,程的例子也符合这个标准(如果不是这样,请吴老师指正)。其实这个例子不是个关键,只是帮助理解这表达式有问题的简单示例。

 

根据伽罗华理论,5次方程是不可能有根式通解。挑战这个逻辑的定论等价于推翻一个系统,完全没有可能。当然,根据伽罗华理论,总是可以构造出特殊一类的5次方程有根式解。一个平凡的例子是$x^{5} - a = 0$。不过即使是再复杂点,也没有什么意义,数值上现在用计算机解,理论上都已在伽罗华理论里了。

 

非专业人士挑战专业,要特别注意属于专业概念性和常识性的知识,不然费尽心力的结果可能在不起眼的地方绊倒,我前几天写了篇博文以一个事例,介绍非专业人士该怎么和数学工作者对话。写后虽然有时还得费心给匿名的民科评论员普及:什么叫逻辑中的“排中律”,说明院士的不反对和海外发表,不能作为数学的证明等等。但是认真的主角还是同意了:他的文章是理念性的,不是一般的数学问题。我也理解了他谈的不是数学里实数、集合势和康托尔定理的问题,这只是他未来的努力方向。这也达到了沟通。

 

 

 

【后记】写于评论[32],点击2700之后

 

本文之后吴老师写了篇博文《对“任意n次不可约代数方程的根式解”的一些注解(1)》继续讨论这个问题。http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=226&do=blog&id=670152

 

因为在博文和网上,无法找到他的“不可约方程”确切定义,我请教他后,理解了他对这个的定义是:不能在有理数域上做因式分解的多项式方程。这能够解释他不认同 $y^5-y^3=0$ 是不可约方程的原因。了解这一点后,程也许改用符合他定义的方程,比如说 $y^5-5y-2=0$,来举例说明,也许会比较容易沟通点。当然,这不是个重点,那只是个为了说明吴氏法不能解这简单方程的例子。能够用来解决不可约代数方程的方法,也应该能够用来解可约的方程。

 

程的博文核心的理由是:吴氏法中线性表达式矩阵的秩是3,不足以表达所有5次方程根。这也许对没学过线性代数的人不大容易理解。下面的推理可能会容易些。

 

将上面$y_1,y_2,y_3,y_4,y_5$的表达式中代入运算,我们有根的关系:

$y_2+y_3-y_4-y_5=0$

$y_1+y_2+y_3+y_4+y_5=0$

 

这就是说这5个根中只有3个是自由的量(线性独立的),只有满足这两个关系式的根的方程,才有可能用他的方法。这是比较罕见的情况。比如说符合不可约的代数方程$y^5-5y-2=0$,它精确到6位小数的根是:

$y_1=1.582038$

$y_2=-1.371882$

$y_3=-0.402102$

$y_4=0.095974-i1.510795$

$y_5=0.095974+i1.510795$

 

很容易验证,它们不能满足这个$y_2+y_3-y_4-y_5=0$关系式,也就是说不能用吴氏法来解。

 



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