概率的概念就像信念一样，存在于人们朦胧的直觉中，经过学校教育，表面上以为了解了，常常又与不同角度出发的直觉冲突矛盾，必须经过更深入的考察思索才能够理解。

蒙提霍尔问题的热议，便是一个例子。还没有一个简单的概率问题，长时间地迷惑着这么多的民众和学者，越是深入思考越发现问题。自1990，1991年纷起热议之后到了2000年，有超过75篇关于这个问题的论文发表在40多种学术和公众刊物上。两种结论反复交锋，不同观点一直纠缠，英文Wiki被双方不断更新资料的编辑之战折腾着。有的错误一直到了现在才发现。二十多年过去了，至今还偶尔在论文、书刊和电视上讨论。在公众书刊和百科中混杂着许多简单化似是而非的介绍。

我不想重述争议的细节和对错的结论，只是通过剖析典型的说法和认知的反复，来促进对概率概念和数学模型的理解。

蒙提霍尔问题（Monty Hall problem）【1】是一个概率猜谜游戏。1990年9月Craig F. Whitaker给《Parade》杂志“Ask Marilyn”专栏提了一个问题：

在蒙提霍尔游戏节目中，让你在三扇关着的门中选择，知道一扇门后面是跑车，其他俩都是山羊，当然希望选中赢的是跑车。当你选择后告诉他，比如说1号，主持人知道车在什么地方，他打开另外一扇门，比如说3号，是羊在那儿。然后问你，要不要改主意选2号。问：改选是不是更有利？

大多数人认为改不改都一样，因为没打开的两扇门后面，有车子的可能性都是1/2。Marilyn vos Savant认为1号门的可能性是1/3，2号现在有2/3。她给人们一个直观的想象：假如有辆车在一百万扇门中，你选了1号门，主持人知道车子在哪里，所以打开门时总是避免它，结果他打开了其余，除777777号之外所有的门，这时，你是不是很快改主意，选它了？【说法1】

这个专栏写手Marilyn vos Savant是吉利斯记录中拥有最高智商的女人，IQ 228。她在Washington University in St. Louis哲学系上了两年大学后，就退学挣钱，以便有自由来写作。

她的答案打击了大多数人们的直觉，当即收到几千封读者的反驳，11月著名问题专栏作家的Cecil Adams也在他“The Straight Dope”专栏里讨论这个问题，持相反看法。第二年《纽约时报》在头版登出这个问题，并且访谈了这问题中的节目主持人蒙提霍尔。他也不认可。vos Savant仍然坚持原来的答案。她摊上大事了，报社收到了一万多人来信，92%认为她错了，65%来自大学的信，多数是来自数学和科学的院系，都反对她的答案，认为这只是女人的直觉，劝她修了概率课后再谈这问题。其中有一千多个署名上有博士学位。即使她重申主持人必须打开有羊门的假设，提供了进一步证明后，仍被大多数有学问的人怀疑。没有被她说服的名人包括Paul Erdős【2】，他是最多产的数学家，研究的问题包括组合数学、图论、数论、经典分析、逼近理论、集合论和概率论。

反对者的直觉是：主持人打开了一扇门，里面是羊，这将三个选择去掉一个，一辆车子和一只羊分别在剩下两扇没打开的门中，它们各有1/2的概率是车。

vos Savant反驳说，如果一个UFO在主持人打开门后降临，看到两扇关着的门，外星人会同意这个概率1/2的结论，因为她缺乏这两扇门是怎么被留下来过程的信息。

有人用贝叶斯公式推出条件概率：假如A表示车子在1号门的事件，车子可能在任意一扇门后，所以它的概率P(A)=1/3；H表示主持人打开有羊门的事件，三扇门中两扇门后是羊，概率P(H)=2/3；记P(AH)为车子在1号门后而且主持人打开了有羊门的概率；如果车子是在1号门，打开是羊门的条件概率P(H|A)=1，则有P(AH)=P(H|A)P(A)=1/3；那么主持人打开有羊的门后，1号门后面有车子的条件概率P(A|H)= P(AH)/P(H)=（1/3）/（2/3）=1/2，这和大家的直观看法一样，这时没打开的那扇门（2号）有车的概率也就是1/2，所以换不换都一样。人们推论：主持人打开了有羊门的事件，减少了对1号门是羊的猜测，提高了1号门有车的概率，vos Savant的论断中坚持1号门的概率不变是错误的。【说法2】

看到不能说服读者，Vos Savant在专栏中画一个表，继续为她概率2/3的结论辩护。这里假设：客人先选1号门，主持人在2和3号中打开有羊的门。【3】这个表包含了所有的可能，不难看出换门赢的机会是不换的两倍。【说法3】

维基百科上论证说【1】：“可以用逆向思维的方式来理解这个选择。无论参赛者开始的选择如何，在被主持人问到是否更换时都选择更换。如果参赛者先选中山羊，换之后百分之百赢；如果参赛者先选中汽车，换之后百分之百输。而选中山羊的概率是2/3，选中汽车的概率是1/3。所以不管怎样都换，相对最初的赢得汽车仅为1/3的机率来说，转换选择可以增加赢的机会。”【说法4】

这个说法看起来犀利无比，但总是让人不放心，觉得过于简单化，给人感觉像是“两个信封的问题（Two envelopes problem）”【4】里的逻辑

让你选择两个装钱的信封，已经知道一个比另一个多了一倍的钱。当你拿了一个还没打开时，有人劝你：另一个可能多一倍，也可能少了一半的钱，两种情况机会均等，平均起来另一个是手里那个1.25倍，所以换了还是合算。

问题是，你要拿了另一个也可以作同样的推理，这显然是个悖论。

这里有两个观点：大多数人认为，打开一扇有羊的门，这事件改变了其他门的概率，现在2号门有车的概率是1/2；vos Savant这边少数人认为，这不改变1号门的概率，所以2号门现在概率是2/3。

这两个观点，四种说法，到底哪些错了？为什么？

（待续）

【参考资料】

【1】       维基百科，蒙提霍尔问题http://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%92%99%E6%8F%90%E9%9C%8D%E7%88%BE%E5%95%8F%E9%A1%8C

【2】       Wikipedia，Paul Erdős http://en.wikipedia.org/wiki/Paul_Erd%C5%91s

【3】       vos Savant, Marilyn (1991a). "Ask Marilyn" column, Parade Magazine p. 12 (17 February 1991). http://marilynvossavant.com/game-show-problem/

【4】       Wikipedia，Two envelopes problem http://en.wikipedia.org/wiki/Two-envelope_paradox