好的智力游戏，挑战的是智力而不是知识，简单直观有确定的答案，但有一定的难度。问题的解决，不仅有征服高峰的快感，还常有开拓眼界的收获。上一个帖子“称球问题”就属于这一类。

我这里再出一道题。为了让大家有收获，先给一个思路。

我所学的许多知识中大约最直观的就是“抽屉原理”【1】了。它是组合数学的一个基本原理，最先是由德国数学家狄利克雷明确地提出来的，因此，也称为狄利克雷原理。

这原理形象的说法是：将10个苹果放在9个抽屉，至少有一个抽屉会有2个或以上的苹果。如此等等，总之傻子都能明白的道理。把苹果换成鸽子，这原理也就叫“鸽巢原理”了。其实我在上面称球问题【2】的定理证明【3】中就几次用到抽屉原理，用决策树分析区分球的上限时也用过。只不过不说，人人也不打磕地通过了。这抽屉原理，用信息也能给出个解释，不过组合数学觉得用集合论就能说明白，就不用它来包装了。

抽屉原理如果没有个不寻常的应用，那也没人会认这个账，早让奥卡姆的剃刀给切去了。下面题目，给大家一个验证的机会。

1958年6/7月号的《美国数学月刊》上有这样一道题目： 证明在任意6人的集会上，有3个人以前彼此都相识，或者有3个人以前彼此不相识，这两者必居其一。

这道题的数目有限，自然可以用枚举法证明。但用抽屉原理，几句话就能说清，你知道该怎么证明吗？

别看这道题简单，六人集会问题是组合数学中著名的拉姆塞定理的一个简单特例，它的思路可以得出另一些深入的结论。它们构成了组合数学中的“拉姆塞理论”【4】。

×××××

你想出证明了吗？要是没有，下面是证明。

在6人中任选一人（称为主人），他与其他5人的关系可以分成两类：认识的和不认识的。5人分2类，至少有一类是3人以上（抽屉原理）。

假设主人认识的至少有3人，这3人如果互相全不认识，就满足问题中后一条件。否则，至少有两人认识，再加上主人，就有了互相认识的3个人，满足前一条件。因此，两条件必居其一。

假设不认识的起码有3人，将前一假设论中“认识”与“不认识”的文字互换，完全对称地可以证明了结论。证毕。

不过瘾，是不是？再出道题给大家思考。

一个聚会中，大家见面握手。有人热情，有人冷淡，不见得都握的一样多。证明一定有两个人与一样多数量的人握了手。

可能有讲究数学严谨性的人说：这题目不成立！反证法：要是聚会只有主人一个人，其他都没来，怎么有两个人握手的次数一样？Q. E. D.

很幽默吧。在分13球的讨论中，也有类似的评论。有人说：这些球是玻色子，所以所有的那些解法都不成立，这提法还附有深入浅出的穷举法反证，以示严谨。我起先以为有人把四月一日的帖子发早了，后来见一再提醒大家，且有博文把问题“重新准确描述：有十三个球大小颜色形状完全相同，”还真叫人语塞。我更郁闷的是：这么多年，这么多人都兴致勃勃，绞尽脑汁地奔着这难题想，莫非还真有聪明人叫破了：“这是忽悠小孩子的皇帝新衣”？研读了一下，发现除了“玻色子”这词对小朋友有点难度外，这提法还真是善待小孩了。

查了物理大辞典，“玻色子”在这儿的意思是：这些球外表不可区分，也就是说你把它们混着搁在一堆里，就认不出不同的出处了，所以别费心思在一堆里做什么组合。把这意思告诉小朋友，还真是个个雀跃，齐声说：以前都被忽悠了！为什么？好解了呀！13个玻色子球，就有那么少数几个分堆的法子，不费脑筋考虑各种组合的效益，小朋友用穷举试几次也发现了3次是不可能分出次品。给自己压任务，琢磨称4次，4、4、5三堆一分，太容易了。实际上称4次都能分31个玻色子球，你让他分13个，差生都得满分。太没有挑战性了，这也叫智力题？难怪大人都不理会什么玻色子解释了。

把分13球，或者12球的问题换成从玻色子球里挑出一个次品，除了这名词比较牛以外，真是没什么技术含量。把好好的一个挑战智力的问题变成乏味的儿童题。那是缺乏做事的常识了。

其实真要别出机枢，在网上想整出点动静来，也不是没办法，比如说玩一篇从玻色子球中找出一个次品的通解。

你看哈，既然在一堆里不能区分哪个从哪里来，那就别费心思颠来换去地组合，光考虑数量就行了。如果已经知道了次品是轻还是重，称k次可分3**k（3的k次方）球。如果未知轻重但外边有足够的正品球，称k次可分（3**k - 1）/2个球而且知道了次品的轻重。证明？用数学归纳法，k=1没问题；将3**(k-1)个球与正品球上天平比较，如果不平衡就知道了次品在这儿也知道它的轻重，再称k-1可解决；如果平衡，再称k-1次可解决天平外的（3**（k-1）- 1）/2个，加起来就对了。注意到这也同时分辨出次品的轻重。如果不求这轻重，再多搁一个在外边也成。

好了，现在从不知次品轻重也没有正品球的起点开始，考虑怎么称k次。一开始把球分3堆，把两堆3**(k-2)个球上天平，如果不平衡，确定了外边是正品球，数出3**(k-2)个球把在天平上右边那些球换下来，再称，就能判断出次品是在原来天平哪一边了，而且知道次品是轻了还是重了。由上面分析可知，这样再称k-2次就能在这些球中判断出次品，且知轻重。第一次称时天平外有多少？（3**（k-1）- 1）/2个。如果第一次天平平衡，知道天平里都是正品了，用这些量外边这些球，由上面分析可知，称k-1可解决。注意到无论天平平衡不平衡，我们手里都是有充分的正品球。把这些数加起来，一共是3**（k-1）+（3**（k-2）-1）/2个，如果不要求判断次品的轻重，还能多出一个。这样称2、3、4、5次，可分3、10、31、94个玻色球，并知道次品轻重。或对不在乎次品轻重的能分4、11、32、95个。这是结构性证明，读了就知道该怎么操作了。。。

这通解虽然没什么难度，如果用它垫底，再侃些什么玻色子球，借已有定论的东西炒作一下，马马虎虎算是沾着点技术含量，写反调文章才比口水帖强。

玩游戏读文章做研究时，如果其中有歧义，聪明的人都会往有意义的方向想，而不会将它平庸化。这在玩游戏时是如此，做研究读论文时更应该如此。我在念研究生时，有个学弟，读到很经典论文证明中的一处错误，兴奋得不能自已。大家听了动静过来瞄一眼，都不吱声走开。我看久了实在不忍心，对他说：“这明显是一处笔误，大家最多只愣几分钟都顺过去了，就你还停在这儿。”

【参考资料】

【1】    百度百科，抽屉原理http://baike.baidu.com/view/8899.htm

【2】       科学网博文，称球问题http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=826653&do=blog&id=657778

【3】       科学网博文，称球问题的通解http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=826653&do=blog&id=658533

【4】       维基百科，拉姆齐定理http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%8B%89%E5%A7%86%E9%BD%90%E5%AE%9A%E7%90%86