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线性代数(4)_线性方程组的解_有图有真相

已有 952 次阅读 2020-4-12 17:42 |个人分类:线性代数|系统分类:教学心得| 线性代数, 解向量, 解的图示

[本学期线性代数课,安排了32学时,周4学时共8周,线上上课,已上了6周,再有两周就结束了?还没和学生见面呢。没黑板真困难,网购了一个手写板,但是我电脑有点旧还不支持,只好退了。]

简单画一些图,有不足之处欢迎指正,只为方便学生理解,教材上基本没图。欢迎引用,欢迎探讨。以下是讲线性方程组Ax=b的解时,举的一些例子及几何表达,从二维到三维,多维只能是通过二维三维启发学生去想像了。

 

   线性方程组的解有“有唯一解、无限多解、无解”三种情况,有图好知道“真相”。

二维:


381.jpg

382.jpg

上面的图是用word简单画的示意图,

有些图也可参考http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=797552&do=blog&id=1224029,用C语言画的更准确点。

 

三维空间:

即解:

37.jpg

横着看是三个平面,如果有唯一解,即三个平面交于一点:

36.jpg

从纵向来看,即向量b 是三个向量的线性组合

image.png


具体示例:

增广矩阵为

[1, 1,  1,    0.2;

1, -1, -1,    0.6;

1.5,1,-2,    0.3]

的线性方程组,b=(0.2,0.6,0.3)’,解为x=(-0.4,0.23,-0.03)’

a1=(1,1,1.5)’a2=(1,-1,1)’a3=(1,-1,-2)’

三个平面交于一点x,向量b可由a1,a2,a3线性表示。R(A) = R(A, b) = n

33.jpg



增广矩阵为

[1,   1,  1, -0.5

-1,  -1,  -1, 0.5

2,   2,   2,  -1]时

化成行最简形,只有一个非零行,有两个自由未知数,无限多解,解在一个平面上,三个平面相交于一个平面,即重合。向量a1,a2,a3,b在一条直线上。

R(A) = R(A, b) = 1

image.png



增广矩阵为

                            1, 1, 1, -0.2,

                            1,-1,-1, -0.6,

                            3, 1, 1,   -1

时,化成行最简为

1.00  0.00  0.00  -0.40

 0.00  1.00  1.00  0.20

 0.00  0.00  0.00  0.00

R(A) = R(A, b) =2< n

三个平面相交于一直线,有无限多解,向量a1,a2,a3,b在一个平面上。

X=c(0,-1,1)’+(-0.4,0.2,0)’

 34.jpg


 


增广矩阵为

    [1,  1.5,  1,  0;

    2,   3,   2,  -0.6;

1,   1.5,   1  , 0.5]

R(A)=1, R(A, b)=3R(A) < R(A, b)

三个平面平行,无解,从纵向,向量角度看,三个向量在一条直线上,不能表示向量b

31.jpg

 



另外一种无解的情况:

[1,1,1,0.4

1,1,1,-0.3

1,2,-1,0.5]

R(A)=2, R(A, b)=3R(A) < R(A, b)

两个平面平行,与第三个平面相交,还是没有一点满足三个平面方程,无解。向量a1,a2,a3构成一个面,b不在这个平面上,不能用a1,a2,a3线性表示。

 

32.jpg









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2 李学宽 晏丽红

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