矩阵的乘法，是线性代数课中重要的内容，在熟练掌握其计算方法的基础上，还要明白其意义。

1、关于计算方法，一般教材上说的很清楚了，这里我画了一幅图，好象是在一本研究地震动的书上看到，称作“福尔克图”，很容易让初学者记忆和掌握矩阵乘法运算。矩阵A乘B得C，如图把B放在A的右上方，这样即能判断A和B能否相乘，也容易写出C的各元素，因先给学生简单讲了向量内积，所以C的i行j列的元素，就是A的i行向量和B的j列向量的内积。

对于学过C语言的学生，也可介绍矩阵乘法的程序，这是巩固C语言中循环语句和数组的最好的示例了。

   Matlab和Python的numpy、scipy中也提供了很方便的矩阵乘法运算方式。

import numpy as np

from numpy import matrix as M

mx1=np.matrix(((1,2,3),(4,5,6),(7,8,9)))

mx2=np.matrix('1,4,5;3,2,1;2,2,1')

print(mx1@mx2)

print(mx1*mx2)

E=M('1,2,3;4,5,6;7,8,9')

print(E@mx2)

编写并行计算，最好也从练习矩阵乘法开始。如下的连接提供了用Fortran+MPI进行并行计算的示例。

http://blog.sciencenet.cn/blog-797552-681003.html                      

矩阵的乘法，本质上代表线性变换，所以实际应用很广泛。

2、矩阵乘一向量，可以从多个角度来理解和看待，这正体现了数学的抽象中的简捷和直观。 简述如下：

(1)、下图有两种解释，一是把红色的向量变换为绿色的向量，二是把空间进行了变换，绿色的以单位正交基下的空间变成了蓝色的空间，向量在各自空间中的坐标没变。

(2)、下图，A的两个向量，数乘x1，x2，再相加，线性组合成另一向量。

(3)、对于线性方程组也可如下图理解，求直线交点，或求平面、超平面的交点。

3、矩阵乘矩阵，意义也很多，如可理解为两个线性变换的乘，或对一组向量(或点集)所组成的矩阵进行变换，如下是对几个点组成的图形，乘不同的矩阵实现变换。

（1）乘对角阵[2,0; 0,3]，进行伸缩。

(2)乘2阶方阵[1.5,0.5; 0.6, 2]，伸缩和剪切。

 (3)下图乘[cosθ,-sinθ;sinθ,cosθ]，θ=3.14159/6，实现了旋转。

(4)下图右上角的平移，是把点坐标，扩展为[x,y,1]’，用3阶矩阵[1,0,3; 0,1,2; 0,0,1]乘实现的。

(5)信号处理，如下图的信号，可以构造一个三对角方阵，对角线元素为1/3，对信号向量实现平滑，即蓝色的信号变为红色的。

(6)在实际应用中，还可以构造各种矩阵对所处理的对象进行变换，如有个例题如下：

书上也没说有啥意义，其实由向量X 构造的矩阵H是个反射阵，很有用的。

  矩阵乘法是最基础的运算，掌握好才能更好地理解涉及矩阵运算、线性变换、矩阵分解等。