高阶微分.rar

   我已博士毕业好几年了。这是我本科二年级上学期末写的一篇东西。其中给出了二阶微分d2y、三阶微分d3y的几何意义，并进而讨论了一般n阶微分dny的意义和运算公式，以及与n阶导数之间的关系。高等数学和数学分析教科书中认为只有一阶微分dx、dy才有意义，认为一般的高阶微分dny/dxn上下是不可分的。我当时出于刨根究底的习惯，对微积分进行了深入的思考，把一些根本性的问题梳理得非常清楚，也自然而然地导出了高阶微分的意义和运算公式，最后写成了这篇35页的稿子，可以看作对微积分教科书的一种补充。附件是稿子的照片。
   除了阐述了高阶微分的意义和运算公式之外，我认为这篇稿子最大的贡献在于用非常直观的方式清楚地阐述了微积分中一些很重要的概念，相信对大一大二的本科生深刻理解微积分会有帮助。无穷大、无穷小这些东西一开始是很让人头疼的。这里我用一种完全不同的方式将无穷大和无穷小的概念解释得清清楚楚，甚至可以让它们与实数一起进行运算，相当于用另一种方式扩展了实数域！无穷大和无穷小不再是一种不可捉摸的东西，而是像实数一样可以触摸、可以操作的东西！
   由于我是学工科的，在这篇稿子的最后还举了个工科的例子，用上述理论解释了二阶电路的冲激响应。从中可以看到，一旦我们清楚地定义了无穷大和无穷小的运算，一切都变得多么简单！相信这篇稿子对工科学生尤其会有帮助——我们在微积分的应用中能够做到知其然而又知其所以然，不再是死记硬背公式。
   在攻下高阶微分的意义和运算后，当时我还产生一个奇思妙想：是否存在分数阶的微分呢？是否存在分数阶的导数呢？例如，1/2阶导数如何定义呢？经过一番苦战，我还是未能找到1/2阶导数的定义方法。所以在稿子中认为分数阶的导数是不存在的。而当我后来上研究生时，才知道原来分数阶微积分的理论早在几百年前就出现了！它是与整数阶微积分同步发展的，但因为人们一直未能找到它的应用，所以才不像整数阶微积分那样广为人知。而近年来，分数阶微积分的应用已经开始出现了。有国外学者将其应用在反应堆的控制中，取得了大大优于PID控制的效果。国内也出了一本书，专讲分数阶微积分在信息处理中的应用。而我现在忙于做工程、做嵌入式系统，为生计而工作，没有时间在这些优美的理论上做深入研究了。真希望哪天能衣食无忧地做自己喜欢做的研究啊！