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我的研究

已有 384 次阅读 2019-4-17 15:31 |系统分类:科研笔记

研究陈述.docx

量子引力四部曲:拓扑序论,结构序论,因果凝聚,和量子扭量理论。前三者自然的来自于张量范畴,对称张量范畴,辫子张量范畴的图形演算和 规范理论中自旋网络构造,范畴论中的Kan扩张构造等,其中因果凝聚可以理解为是扭量理论的非微扰量子化,这是我最近的发现。把文章写的严谨清楚是很费时费力的事情,我就只陈述其中的关键点,其中部分详细论证见我以前的博文。



                                                                 研究陈述

我的研究兴趣主要集中在非微扰量子场论的数学基础及其诠释理论,其中,量子引力理论,即相对论和量子理论的统一,是我特别关注的问题。 量子引力问题是物理学中最基本的问题之一,可以说连同暗物质、暗能量问题一起,构成了现代物理学中的最大的两朵乌云, 解决它们应该是很多人的梦想。

在我的观念中,非微扰量子场论分为两类:(1)背景无关的非微扰量子场论(例如圈量子引力,陈-西蒙斯-威腾量子理论,BF理论,等);(2)背景相关的非微扰量子场论(例如超对称量子场论的BPS态理论,包括超弦理论,超引力,超对称规范理论,等)。

对于这两类非微扰量子场论的数学基础,我都有兴趣并且有些想法。我认为量子引力理论应该属于第一类,把这一类的数学框架叫做量子流形理论,它包括三个部分:拓扑序论,PI-张量范畴理论和因果凝聚理论,这一框架平行于因子化同调理论,其中张量范畴的图形演算相当于small disc operad, PI-张量范畴理论相当于考虑small disc operad的operad理论,因果凝聚理论则相当于因子化同调中的Kan扩张构造(范畴化积分)。我认为这个框架可以综合好几个竞争性理论的优点,为量子引力问题提供了新的思路。

我把第二类非微扰量子场论的数学框架叫做BPS代数理论,它包括三个部分:阿贝尔范畴的霍尔代数理论,阿贝尔范畴的海克代数理论,和稳定性理论,也可以考虑它们的derived或者homotopical版本。这一框架是从现代数学物理的快速发展中总结出来的,它联系了几何表示论,代数表示论,可积系统,模空间的几何和量子对称性的研究。和第一个框架有一定的共同点,BPS代数理论也强调定向图或者quiver,以及Kan扩张的基本重要性。但是,相对于第一个框架的研究,这个框架还不成熟,有几个根本性的技术问题没有解决。

简单地讲,量子流形理论是受物理启发的对于张量范畴的研究,BPS代数理论是受物理启发的对于阿贝尔范畴的研究。从数学上看,张量范畴和阿贝尔范畴都是很经典的数学对象,但我认为目前人们对它们的认识还不全面,仍然有一些基本的观念,特别是和量子物理的关系,有待澄清。

从历史上看, 对于第一类非微扰量子场论,即背景无关的量子场论,的研究一直不是很热,只是少数人关注的领域,其原因是一个有趣的问题。而第二类非微扰量子场论,即有背景的量子场论,或者量子场论中非微扰效应的研究则一直是数学物理的主流方向,并且其研究在不断的丰富。从威腾开始用超对称量子力学解释莫尔斯理论,到同调镜对称猜想,几何朗兰兹纲领的提出,从哈维-穆尔定义BPS代数到Joyce的motivic Hall 代数,Bridgeland的稳定性条件,cluster代数的提出,再到康塞维奇-苏泊曼的穿墙公式,等等,整个领域的研究进展逐渐展现出一个统一的景象,即阿贝尔范畴的量子对称性理论。

当前我主要花时间在第一类非微扰量子场论的研究上,并且获得一些进展,因此下面我将重点陈述一下对于量子流形理论和量子引力的理解。

(一)量子流形理论

和经典的流形理论或代数簇理论比较起来,量子流形有很多相似的地方,这是为它取这个名字的原因。经典流形和代数簇都可以从多个角度来理解,量子流形也是如此。简单讲,量子流形理论是(1)经典代数簇理论的“张量化”或者“量子化”;(2)它是Baez的自旋网络构造的一般化和代数化;(3)同时也可以看做是弦网凝聚理论的内蕴化。

一个经典流形就是一个装配了局部坐标系统的集合或者拓扑空间,其不同的局部坐标卡之间可以相互转换。一个量子流形则是一个装配了“局部坐标系统”的线性空间,其局部坐标系统就是自旋网络系统或者张量网络系统,一个态/向量在局部坐标卡的表示下就是一个自旋网络态或者张量网络态,这种具体的表示称为这个态/向量的局域张量坐标。在经典情形,不同的局域坐标卡可以相互转化,转化关系是微分同胚;而在量子情形,不同的局域坐标卡的转换关系是粗粒化的关系。这其中一个关键的思想就是量子纠缠具有一定的相对性,它是和态的张量坐标表示是有关的。

 

 

经典情形的坐标卡转换关系要满足一致性条件或者cocycle条件;在量子情形下也是一样,一致性条件就是粗粒化不动点条件。在凝聚态物理模型中通常讨论固定的网络结构,从量子流形的角度来理解,这样做就相当于固定了一种“观测尺/精度”或者选择了一个特定的坐标系统,并没有把量子液体的结构内蕴化。类比于经典情形,这就像把经典流形嵌入在欧式空间中,把它定义为一个特定函数的非退化零点集合一样,而要定义它的内蕴的微分结构则需要借助隐函数定理。这是对量子流形的第一种理解,也可以理解为是抽象的弦网液体(以前我称之为费曼流形张量流形)。

 

 

从另外一个角度,经典流形或代数簇可以理解为一种特殊的代数层,量子流形也是一样。对于量子流形,每一个网络结构(局域坐标卡)都相当于一个开集,网络结构的不断粗粒化相当于不断取领域系或坐标变换,网络结构上的代数结构在领域系的极限下就相当于层的茎stalk,它是一个张量范畴(这是我们计划要证明的张量范畴的nerve定理)。一个经典代数簇可以用一个代数方程组来定义,类似地,(代数的)量子流形可以用一组张量网络系统来定义,这组张量网络在粗粒化下封闭相当于代数方程组生成多项式代数的理想一样。这是第二种理解,其中张量网络就是张量多项式,这一个观点有利于把PI张量范畴和PI代数理论进行比较。

 

还有第三种角度的理解,就是把流形的光滑结构理解为一种Kan扩张构造。所有的仿射空间连同其上的光滑坐标构成一个滤子系统,一个拓扑流形的光滑结构就是对于这个滤子系统的Kan扩张(只能粗略地这样看,因为一般的拓扑流形其光滑结构并不唯一)。同样地,对于量子流形而言,这种方法也适用且更自然。在spin network in gauge theory一文中,Baez给出了一种构造联络模空间上典范测度的方法,这个典范测度是通过自旋网络构造而间接得到的,从而严格地给出了规范理论的非微扰量子化方法。更重要的是,这个方法也适用于具有(微分)同胚不变性的规范理论,并给出圈量子引力中为何出现自旋网络的最直接解释。我发现Baez的工作背后其实有一整套范畴论的逻辑,即一旦把其语境代数化/范畴之后,他的这个工作恰恰就是一种Kan扩张构造(从泛函分析的角度,他的方法可理解为一种非线性投射技巧)。规范理论和自旋网络有着深刻而自然的联系,这个联系一方面是通过Baez的自旋网络构造体现(非微扰量子化,从经典理论到量子理论),另一方面是通过弦网凝聚理论体现的(演生理论,从量子理论到经典理论)。

(二)量子引力理论

广义相对论是一个原理性理论,广义协变性是它的核心原理(在数学上要求理论是微分同胚不变的,这一原理和Connes的谱几何观念也是一致的;更进一步的解读,则是要求理论的背景无关性)。量子力学同样也是一个原理性理论,其中态叠加原理是它的一个核心原理。这两个理论背后都有稳健的数学结构支撑。目前能够同时概括这两个理论背后数学结构的数学框架就是Connes的非交换几何,但它的潜力有限,至多可以成为一个微扰(欧式)量子引力的数学框架。

在对量子流形理论的理解之上,我们可以分析如何自洽地统一广义相对论和量子力学,即解决量子引力问题。众所周知,目前有好几个竞争性的“量子引力理论”,如圈量子引力,弦理论,因果集理论,因果动力学三角理论,等等,它们各有优势,但又都有致命缺陷而难以成为一个令人满意的量子引力的理论。这些理论面临的最大的几个原则性问题就是(1)背景无关性问题,(2)时间问题,以及(3)低能有效问题,其中背景无关性明显地要求量子引力需要是一个非微扰的量子场论,时间问题则更像是一个深刻的哲学问题,而低能有效理论问题则似乎要求理论能够退化到Connes的非交换几何的数学框架。

量子流形理论对于解决第一个和第三个问题是有希望的,一方面它可以内蕴地描述量子液体的结构,表现其背景无关的特点;另一方面,可以借鉴弦网凝聚的演生思想来构造一个低能有效的经典理论(更好的名字似乎应为平均场理论),当然不排除有其他的构造经典理论的方法,比如下图展示的量子纠缠熵的方法,最后回到Connes的非交换几何框架。

 

现在用量子流形的框架解决量子引力问题的主要困难就是时间问题。 对于该问题,我认为有必要再把它分解为两个基本问题 1)第一个问题是如何量子化零温度下的时间,这个问题也即是如何量子化广义相对论中因果结构 2)第二个问题是如何描述与热力学有关的“时间”。 这两个问题当然是不同层面的问题,但可以期望二者在数学框架上有很好的相容性,其中第一个问题称为量子时间问题,第二个问题称为热力学时间问题。对于第一个问题,我提出因果凝聚的数学框架来解决,对于第二个问题,我认为罗威利和Connes的热时假设理论是一个很好的备选答案,并且在罗威利和Connes的分析中可以看到他们的热时假设和宇宙学,相对论,盎鲁-霍金效应等都有很好的兼容性。 如何具体地建立这两个时间问题的关联是我下一步要思考的问题。

因果凝聚框架是建立在图形演算和向上平面性理论基础之上的,它的主要动机为霍金-马拉门特定理,该定理也是因果集理论的主要动机。关于因果凝聚的详细介绍见下面的ppt。目前,该理论的数学框架已经大致成型,并无原则性的问题,其主要的论断就是量子时空是一个因果网络凝聚态,最核心的定理就是张量范畴的nerve定理Kan扩张构造(Baez的自旋网络构造的代数版本)。

 

 

 

已发表主要工作

张量范畴理论的基本问题和向上平面图的组合理论

(1)A graphical calculus for semi-groupal categories, Applied categorical structures (accepted),  arXiv:1604.07276.

(2) Combinatorial characterization of upward planarity, Communications in Mathematics and Statistics (accepted),  arXiv:1608.07255.

 

在第一篇文章中,我们系统地升级了张量范畴的图形演算理论,澄清了张量范畴理论中的一些基本问题和基本概念。 特别地,我们指出严格张量范畴的图形演算理论和已知的向上平面图理论完全等价;在此等价基础上,我们还指出对称张量范畴的图形演算可以理解为向上平面图理论的内蕴的高亏格推广,这个高亏格推广对于无环定向图和偏序集的意义可完全类比于拓扑图论对于图的意义,故可平行地称之为“拓扑序论”。

更加具体地,在第一篇文章中,我们界定了一类称为 processive plane graph的图类,它们是特殊的progressive plane graph,并引入planar order的概念对其形变等价类进行组合刻画;我们指出processive plane graph 和progressive plane graph 分别等价于图论中的upward plane st graph和一般的向上平面图;我们提出了semi-tensor scheme的概念,并用processive plane graph建立了严格张量运算背后的伴随函子; 我们从图形演算的角度论证了自由的半群范畴和自由的张量范畴之间的自然联系,还指出相应的monad可以用 processive plane graph的粗粒化来描述; 我们还系统讨论了graphical calculus 的unit convention,并做了推广,论证了建立PI张量范畴理论可能性。

在第二篇文章中,我们用UPO-graph的概念给出了向上平面性的组合刻画,推广了第一篇文章中用POP-graph刻画processive plane graph的工作。具体地,对一般定向图,我们提出了upward planar order的概念,它是第一篇文章中planar order概念的推广; 我们对UPO-graph引入了 CPP扩张的概念,建立了upward planar order 和CPP扩张间的一一对应关系;利用第一篇文章中的planar order的复合理论和CPP扩张的构造,我们可以给出UPO-graph和向上平面图之间具体的,可操作的联系。特别地,对于因果网络,我们还指出可以利用它们边序的线性扩张来定义一个线性亏格理论,并说明它和基于对称张量范畴的拓扑序论是不一致的。

 




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