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无网格法:数值计算科学的统一趋势

已有 1762 次阅读 2019-3-13 20:25 |系统分类:论文交流| 无网格法, 计算力学, 数值计算

无网格法从20世纪末开始兴起,是21世纪初以来计算力学领域研究最为活跃、进展最为显著的计算方法分支。英国物理学家牛顿曾经讲过:“要想探求自然界的奥秘,在于解微分方程”。法国数学家拉普拉斯也有类似的观点:“只要能解微分方程,我就能预测宇宙的过去和将来”。由此说明,求解微分方程对人类深刻理解自然客观规律是何其重要。

或许超乎想象,我们周围的自然世界和人工设备,其状态和运行只是被非常有限的几个微分方程所统治。比如,建筑物的安定与失稳,机车或飞行器平稳运行或破坏,江河的奔流与变迁,气候的变幻莫测,星系的诞生和演化等,这些现象都可以被微分方程所定义。在这些微分方程中,有三类是最主要和最基本的:一是描述振动和波动特征的波动方程,二是反映输运过程的扩散(热传导)方程,三是描绘稳定过程的泊松方程。这些方程在形式上都很简单,但对于实际的问题而言,由于几何结构的复杂性,或者是边界条件的复杂性,求解这些方程却并不总是一个简单任务。

无网格法正是一种借助散点信息,应用计算机技术求解微分方程的计算科学方法。该方法学的研究需要集合数学、物理学和计算机工程学等多种学科的知识体系,并发展对应的理论、算法和计算程序等成果。单纯以力学的观点而言,无网格法可被应用于固体力学、流体力学、热力学、电磁力学、生物力学、天体力学、爆炸力学、微观力学等分支领域。

无网格法以散点信息作为计算要素,在计算模型构建时无需构造复杂的网格信息。相比于以有限元法为代表的传统网格类方法,无网格法具有诸多竞争优势。一是具有数值实施上的便利性,用散点进行离散要容易的多, 尤其对3D问题而言, 散点离散具有明显的便捷性。二是无网格法的近似函数通常是高阶连续的, 保证了应力结果在全局的光滑性, 无需进行额外的光顺化后处理。三是容易实现自适应分析,散点的局部增删和全局重构很容易实现,在计算收敛性校验和移动边界问题中具有明显优势。四是具有求解的灵活性,无网格法避免了对网格的依赖, 也就无需担心网格畸变效应,因此容易处理大变形、断裂、冲击与爆炸等一些特殊问题。五是对物质对象描述的普适性,“点”是最基本的几何元素,容易实现对天文星系、原子晶体、生物细胞等物质结构的直接描述。因此, 无网格法作为一种易于实施、具有更广泛适用性的数值求解技术,被学者们誉为新一代计算方法。

近年来随着无网格法的快速发展,新的观点、新的理论、新的算法层出不穷,相关研究呈现百家争鸣、千花齐放的繁荣景象。国内外一些学者也先后出版了无网格法的专门著作,比如AtluriG.R. LiuBelytschko、张雄、陈文、程玉民等陆续有专著面世。即便如此,作者希望借助本书的出版,能够推介基于作者认知和理解的独立学术观点,更全面的梳理无网格法的主要发展成就,介绍新近的无网格法研究成果。即使难辞挂一漏万之嫌,本书作为一家之言或可有些许参考之益。

时光如流水, 飘忽不相待。本书是作者10余年来在此研究专题上的一个阶段性总结。同时,本书能得以完成,也有赖于更广泛的同行和学者在此研究专题上的贡献。本书在内容的取舍上,虽然希望尽可能不遗漏一些重要的研究工作,但在浩如烟海的研究贡献面前,达成这样的目标显然并不现实。在推荐和评论研究工作时,虽然希望尽可能保持公允而客观的态度,事实上却难以避免作者学术观点偏好和视野的局限性。作者虽然尽可能的努力来完善本书的内容,但很多方面依然难尽如人意。因此恳望一切有机会阅读到本书的读者,对一些缺陷和谬误的指责请勿太过严苛。






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