【文清慧注：下面是天天2012.8.17投给评论园地的文章。】

点与实数的不同是造成康托尔

连续统假设错误的根源

天天

一、康托尔的“部分等于全体”与连续统假设

康托尔证明了实数轴上的点与[0，1]上的点一一对应（见图1，实数轴上每一个点L₁，L₂，L₃，…，L_n与[0，1]上的某个点一一对应），并推出了部分可以等于全体的结论。

（图1）

康托尔的连续统假设是建立在一个实数和数轴上的点一一对应的基础上，并把实数之间的一一对应关系等同于点与点的一一对应关系，由此推出了实数集的基数大于自然数的基数（即2^∞>∞）。

二、点与实数

点的含义：“一个点可以构成一条线，也可以构成一个平面，也可以构成一个立体。” “点是空间中只有位置，没有大小的图形。”点作为最简单的几何概念, 通常作为几何、物理、矢量图形和其他领域中的最基本的组成部分。“点成线，线成面，点是几何中最基本的组成部分。”

实数的定义较为复杂，至今还没有一个公认的、完整的、准确的定义。实数包括有理数和无理数。其中无理数就是无限不循环小数，有理数包括整数和分数。

由于点没有大小，一个点的周围有无穷多个点。

实数具有稠密性，任意两个点之间必定有第三个实数。

三、点是不可数的，实数是可数的

沈伟国和吕陈君两位学者用不同的方式已经证明了实数是可数的。沈伟国用“无穷层满二叉数上包含有单位区间全部实数”的方法，构造了一种单位区间实数集与自然数集一一对应，证明了实数可数。吕陈君引入潜无穷公理也证明了实数可数。

是的，实数是可数的，实数与自然数都有同一个∞。

但是，点是不可数的。在无穷小的区域里，点与实数不可能一一对应！

从图1我们可以看到：部分等于全体的结论是发生在点与点的一一对应上（注意不是实数的一一对应）。当我们把[0，1]缩短到[0，δ] （δ为无穷小），一一对应依然存在；再缩成一点，一一对应也依然存在。这可以看出：这一一对应其实是一个误区，点是不可数的！

怪不得康托尔证明不了连续统假设，怪不得康托尔找不到比À₁更大的超限数。

四、康托尔的连续统假设的错误观点

由于康托尔的连续统假设是建立在一个实数和数轴上的点一一对应的基础上，把点的不可数误为是实数的不可数，从而推导出一直具有争议性的、实际上不存在的 À₀,À₁,À₂,…超限数系列。

但是，康托尔敏锐地认识到无穷大至少有两个：可数无穷和不可数无穷，这两个无穷大是存在的。我们现在所说的∞就是可数无穷，至于不可数无穷，我这里称之为终极数（Ultimate number），用U表示。

五、终极数及其性质

引入终极数U，把U定义为不可数序列的极限。因为不可数再也无法去数，因此也不能再分。线段上的点、平面上的点、多维空间上的点，以及由点组成的线、面、体都是不可数，它们都是同一个终极数U。

终极数的性质如下：

    终极数U是0的倒数。即：

1/U＝0，1/0＝U

    终极数U大于无穷大∞。即：

U>∞

终极数U的引入，也使数的排列趋于完美：

0，δ， C，∞，U

参考文献：

[1] 何华灿、何智涛著，《统一无穷理论》，科学出版社，2011年12月

[2] 戴维·福斯特·华莱士著，胡凯衡译《跳跃的无穷》，湖南科学技术出版社，2009年4月

返回文清慧：《统…论》评论园地首页：

http://blog.sciencenet.cn/blog-755313-593018.html