Zmn-1133 薛问天: 微分定义不存在貝克莱悖论，评新华先生《1132》。

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微分定义不存在貝克莱悖论

评新华先生《1132》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

一，微分定义不存在貝克莱悖论

1，要了解，贝克莱悖论是指在求导数时同时要求∆𝒙=0，又要求∆𝒙≠0，这才产生了矛盾。而微分的定义dy=AΔx，dx=Δx，是允许Δx=0，并不是要求一定Δx=0。所以可以在∆𝒙≠0时，dy/dx=f´(x)，这並不产生矛盾。微分是【允许】Δx=0。没有要求∆𝒙=0和∆𝒙≠0【同时成立】。这是重要的区别。

2，无穷小这个变量，可以是大于 0 的，当然不能把无穷小当成 0 处理。但要注意不要把无穷数列 0.9，0.99，0.999，⋯ 同无穷小数 0.999⋯ 混为一谈。无穷小数是一个确定的数，不是无穷序列，而是这个序列的极限，它等于1。无穷数列 0.9，0.99，0.999，⋯ 的任意一项都小于 1，但是认为无穷小数 0.999⋯<1是错的。无穷小数是序列的极限，是 0.999⋯=1。

二，请注意，我们是在理论上讨论问题，不是在讨论具体的应用。

你所说的“∆𝒚=𝒇′(𝒙)∆𝒙+𝒐(∆𝒙)”形式的表达式，【只对部分函数有效，其它函数都不具备这样的条件】，当然是不对的。你所说的【其它函数】，是肯定同你所说的【部分函数】一样，要求要满足一定条件才能表达。这个有效条件都是一样的，那就是可导。当Δx→0时，Δy/Δx→f´(x)。

从理论上可以严格推出，如果这个条件成立，则φ(Δx)=(Δy/Δx)-f´(x)是无穷小，即当Δx→0时φ(Δx)→0。也就是说φ(Δx)Δx是高级无穷小。而且可以表达为∆𝒚=𝒇′(𝒙)∆𝒙+φ(∆𝒙)Δx。

这就从理论上证明了，任何函数y=f(x)，只要是它满足可导的条件，就可以表达为∆𝒚=𝒇′(𝒙)∆𝒙+φ(∆𝒙)Δx。这就是你所要求的表达式: ∆𝒚=𝒇′(𝒙)∆𝒙+𝒐(∆𝒙)。只不过其中的𝒐(∆𝒙)是φ(∆𝒙)Δx。而且明确说明了φ(Δx)=(Δy/Δx)-f´(x)而已。这就从理论上证明了，不仅你说的用此表达式表达部分函数有效，任何其它可导的函数都可有效表达。

新华先生不仅要在理论上认清可表达，还想具体看看是如何表达的。这其实很简单，代入就可以了。

对于𝒚=𝐬𝐢𝐧 𝒙，我在《1124》中已说清，因其可导，𝒇′(𝒙)=cos x。代入即得∆𝒚=𝒇′(𝒙)∆𝒙+φ(∆𝒙)∆𝒙，其中

φ(∆𝒙)=∆𝒚/∆𝒙−𝒇′(𝒙)=(sin(x+Δx)-sin x)/Δx-cos x。

如果还嫌不清楚，把它写出来就是

∆𝒚=𝒇′(𝒙)∆𝒙+((sin(x+Δx)-sin x)/Δx-cos x)Δx。    (1)

可证其中((sin(x+Δx)-sin x)/Δx-cos x)Δx就是高级无穷小𝒐(∆𝒙)=φ(∆𝒙)Δx。（1）这个表达式，就是你要求的具体表达式。

对于函数𝒚=𝐥𝐧 𝒙和𝒚=𝐞^𝒙，同样由其可导可求出导数及相应的φ(Δx)。代入即可求出相应的∆𝒚=𝒇′(𝒙)∆𝒙+𝒐(∆𝒙)表达式。其中的𝒐(∆𝒙)=φ(Δx)Δx。太简单了，不用我来表达了。

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