Zmn-1040 薛问天 : 想得太简单，逻辑不严格犯的错误，无限小数不可数。评李鸿仪《 1037》。

【编者按。下面是薛问天先生的评论文章。是对李鸿仪先生的 《1037》的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意 见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

想得太简单，逻辑不严格犯的错误，

无限小数不可数。评李鸿仪《 1037》。

薛问天 

xuewentian2006@sina.cn

一，李先生认为P(N)可数的错误。

李先生认为可以【把二进制的有限小数和无限小数同时一一列了出来，从而彻底证明了实数是可数的。】

由于二进制的有限小数可以看作是后面有无限个0的无限小数，而所有无限小数的集合即单位区间中实数的集合可以同自然数集合N的幂集P(N)一一对应。从而李鸿仪先生把实数是可数的问题归结为证明自然数集合N的幂集P(N)是可数的问题。这在逻辑上没有问题。

关键是他把问题看的太简单，逻辑不严格，在论证P(N)可一一列出上发生了错误。我们来具体分析如下。

他说【如所周知，自然数集合N={1,2,3……}的幂集P(N)的各元素为：

{},{1},{2},{1,2},{3},{1,3},{2,3},{1,2,3},{4},{1,4},{2,4},{3,4},{1,2,4},{1,3,4},{2,3,4},{1,2,3,4}，……，{2,3,4,5……}， {1,2,3,4……}                  （1）】

认为列成了序列，从而是可数的。

錯在哪里？

首先，如果说序列先排有限子集，后排无限子集。可以说用这个方法可以把所有的有限子集排列完成。这没有问题。有限子集有无穷个，可以排成如下的无穷序列an: a1,a2,a3,.....。其中

a1={} ,a2={1},

a3={2},a4={1,2},

a5={3},a6={1,3},a7={2,3},a8={1,2,3},

......。

这里有个规律，若 i≤2^k 则ai中的自然数 都≤k。

是无穷序列，没有最后一个。有限子集可以排成无穷序列an，这没有问题。

但你说P(N)的(1)是在有限子集的序列后接上无限子集的序列，无限子集的序列是如何排列的，你没有讲清楚。似乎是从最后一个向前排的。假定你是这样排无限子集的序列的。

假定无限子集可以如下排成的无穷序列bn: b1,b2,b3,.....。其中

b1=N-a1=N-{} ={1,2,3,...},

b2=N-a2=N-{1}={2,3,4,...},

b3=N-a3=N-{2}={1,3,4,...},

b4=N-a4=N-{1,2}={3,4,5,...},

余此类推:

b5=N-b5=N-{3},

b6=N-a6=N-{1,3},

b7=N7-a7=N-{2,3},

b8=N8-a8=N-{1,2,3},

......。

这里有两个错误。

①既使你能把有限子集排成序列a1,a2,a3,...，把无限子集排成序列

b1,b2.b3,...。我认为你把P(N)所排的a1,a2,a3,......b3,b2,b1，即(1)并不是序列，以及所排的P*(N):b1,b2,b3,......a3,a2,a1,即(3)也不是序列。因为要知道序列是用每个项的后继和前趋相连的。第一个序列没有最后一项，第二个序列没有最前一项，所以你不能把这两个序列用后继和前趋连接在一起，构成为一个序列。所以你说它能构成一个序列是错误的，你只能说它是两个序列。

当然，如果你真能把有限子集和无限子集排成两个序列，你可以把这两个序列排成这样的序列: a1,b1,a2,b2,a3,b3,......，证明P(N)是可数的。甚至把多于两个，有限个，可数无穷个无穷序列重排一下，都是可证可数的。但是关键还有第二个错误。

②b1,b2,b3,......这个无穷序列并不能代表所有的无限子集。

即a1,a2,a3,...是所有的有限子集的序列，但b1=N-a1,b2=N-a2,b3=N-a3,...,bn=N-an,......，并不是所有无限子集的序列。

这很容易说清楚，因为所有的ai都是有限子集，那么所有的bi=N-ai都是全集減去一个有限集。可是并不是所有的无限子集都是全集減去一个有限集。有太多的无限子集是全集減去一个无限集。例如偶数集是全集的一个无限子集，它就是全集減去奇数集而得到的。但我们知道奇数集就是一个无限集。所以偶数集就是全集減去一个无限集，而不是全集減去一个有限集，从而证明偶数集这个无限子集就不在序列bn之中。

这个错误也可以用对应的无穷小数来说明。序列an对应是全体有穷小数，即是从某个有限位后有无限个0的无穷小数。而序列bn对应的是从某个有限位后有无限个1的无穷小数。当然并不是所有的无穷小数都是如此，例如0.010101...这个无穷小数就不可能从某有穷位后全是0或全是1。这样的无穷小数很多很多都不在an和bn对应的无穷小数之中。

实际上①和②的错误，就是把P(N)看得过分简单了，逻辑不严格所犯的错误。P(N)，无穷小数，实数，以及无穷编码的实数镜像数，和p-adic整数都是一一对应的，巳有不少这方面的研究。凡是两个无限子集能用并或減一个有穷子集得到，称为同族子集。所有有限子集形成的序列an，就是同空集同族的子集，而我们讨论的bn就是同全集N同族的子集，族中的子集是可数的，但有不可数无穷多个族，所以全体子集是不可数的。

你可以参考下面两篇文章。

[1]郝克刚: 论无穷编码的实数镜像数 沟壑满布，《统一无穷理论》难以逾越

https://blog.sciencenet.cn/blog-506146-625639.html

https://blog.sciencenet.cn/blog-506146-625639.html

[2]郝克刚: 无穷位编码的镜像数和p-adic整数

https://blog.sciencenet.cn/blog-506146-669710.html

二，李鴻仪先生对实数不可数的对角线证法质疑的错误。

李先生在文章附录中提出了对康托证明质疑。他的质疑是错误的。

他的错误主要表现在如下几点。

(1)，李先生说【在并没有严格证明实数不可数之前，没有任何理由可以认为实数不能一一列出，因此，不妨将实数一一列出。】

这是对康托尔证明中的将全体实数排成序列的严重歪曲和误读。

康托尔用的是反证法，为了证明实数不可数，用反证法假定【实数可数】，然后推出矛盾，证明这个假定是错误的，最后使【实数不可数】得证。也就是说将全体实数排成序列，是根据反证法【实数可数】的假定而推出的结论。不是李先生所说【不妨将实数一一列出】。

(2)李先生说【由于(A3)中矩阵的列、行符号都是用同一个k来表示的，这说明对角线论证是在小数个数(行数)与小数位数(列数)严格相等的假设下进行的，为了便于叙述，以下简称该假设为相等性假设。

然而，并没有任何人证明过相等性假设。这一事实使得对角线论证没有任何普遍意义，】

这样的质疑毫无道理。在行中有第k行，自然列中有第k位，这一点问题都没有，因为行标是自然数集合，列标也是自然数集合，在集合论中严格证明自然数集合的存在，而所有存在的的集合都是唯一确定的外延确定的集合。这是集合论的基础。集合同属于它的元素密不可分。集合的元素肯定属于该集合，不是该集合的元素肯定不属于该集合。属于关系是逻辑上确定的关系，不能有任何含混。因而集合的外延必须是确定的，不能有任何含混的地方。李先生认为自然数集合等于自然集合是【并没有任何人证明过相等性假设】是错误的论断。

(3)，李先生说【b的存在仅仅证明了小数的个数(即行数)比小数的位数(即列数)至少多了一（b）而已。】

错！反证法假定【实数可数】推出【全部小数都在序列(A)中】，而b的存存证明【存在小数b不在序列(A)中】，说明推出了矛盾，推翻了反证法【实数可数】的假定，从而使【实数不可数】得证。

由以上分析的李先生的错误得知，他的结论【对角线论证实际上什么也没有证明】是完全错误的。

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