随着数论的逐渐发展，古典数论研究者们慢慢意识到质数在自然数的分布具有一定的规律。通过观察质数表可以发现，质数分布的密度越来越小。例如，在100以内有25个质数，而在100万以内的质数仅有7.85%。可见，质数的分布越来越稀疏，这个稀疏程度是可以度量的。例如，质数的倒数和为无穷，但是加了某些条件之后，求和可能有限。在Legendre和Gauss等人的推动下，数论研究者开始猜测质数的分布律接近x/ln(x)，即前x个自然数中大约有x/ln(x)个质数。这一结果于1896年被Hadamard和La Vallée-Poussin各自证明。

质数的分布律说明，质数在自然数中越来越稀疏，同时质数之间的距离——平均而言——会越来越远。因此，孪生素数猜想也就显得很越发奇妙——如果质数之间的距离真的越来越远，那么出现无穷对距离为2的质数就不是那么显然的事了。这似乎说明质数的分布是相当“随机”的，而不是近似均匀的扩散。这一结论与随机过程中“随时间推移，一维标准Brownian运动的位置平均而言离0点越来越远，但却以概率1无穷次折回0点”有着异曲同工之妙。质数的分布与Brownian运动非常相似。然而，更为奇妙的是，质数的位置是完全是确定的，其本质上毫无随机性。 http://www.guokr.com/article/437023/

在整体上表现出正则性倾向而在局部却呈现出无规则性态，这是素数分布的一个值得注意的地方．素数就像对物理学家极其重要的“理想气体”．客观地讲，其分布可以说是确定的，然而当我们试图描述它在一给定点的情况时，我们却观察到类似掷骰子碰运气的赌博那样的统计振荡：在这样的游戏中，我们知道就平均而言，正反面出现的机会一样多，但在任何时候，我们都无法预见下一次出现什么．素数如同理想气体那样占据着所能允许的整个空间(而这正意味着随机性)，也就是说，素数在那些非常严格使之极端正则的限制性条件下有着充分的自由度.

      概率数论主要研究数论函数的分布问题，它与概率中的正态分布，Poisson分布等分布有着密切的联系。概率数论开始于1917年G.H.哈代与S.A.拉马努金关于数论函数ω(n)的研究。此处ω(n)表示n的不同素因子的个数,如ω(1)=0,ω(2)=1，ω(20)=2,ω(30)=3。对于任意的k,当n为k个不同素数之积时,有ω(n)=k。特别,当n=p为素数时,有ω(p)=1。所以ω(n)(n=1,2,…)的分布很不规则，它可以取任意大的整数值,而又无穷多次取值1及2,3等。因此,研究ω(n)的值分布就从研究ω(n)在区间[1,x]中的期望值入手,其中x是大于或等于2的整数。命A_k表示区间[1,x]中为k所整除的整数组成的集合,P_x(A_k)表示A_k的概率。例如当x=100时，

假定p、q为互异的素数，则，所以当x充分大时，有

，

它渐近地等于（见素数分布）。

　　

命ψ(y)为任何当y趋于无穷时亦趋于无穷的函数,则。

　　这就说明在 ω(n)(1≤n≤x)中，只有极少数是偏离ln lnx 的。
　　1934年，P.图兰进而证明了

,

概率数论与Poisson分布的关系

在概率数论中,在广义孪生素数猜想（prime k-tuple conjecture of Hardy and Littlewood）成立的假设下， Gallagher(1976)得到在一定的条件下小区间段中质数个数是渐近Poisson分布。下面我们简单的介绍一下他所证明的Poisson分布与质数分布的一个极限关系。

另外，De Koninck(1987)考虑了自然数的两个相邻的顺序质因数取双对数之后的差渐近的服从Poisson过程。在一定条件之下，Halász (1971), Šiaulys (1992), Granville (2007)考虑了强可加函数的取值分布渐近地服从Poisson分布。这些是为数不多的Poisson与数论结合的定理。

   在概率数论方面作过重要贡献的还有J.库比利乌斯、M.B.巴班、A.温特纳和P.D.T.A.埃利奥特、G.特伦鲍姆等人。 国内关于概率数论的专著几乎没有，最近高等教育出版社引进了法国人G.特伦鲍姆 解析与概率数论导引(Introduction à la théorie analytique et probabiliste des nombres de Gérald Tenenbaum (14 février 2008))的翻译版本。这个书的后面几章讲概率数论，前面讲解析数论。前面讲解析数论为概率数论作技术性的铺垫。习题丰富，内容前沿。其要求的预备知识仅限于普通本科和硕士课程。这也是国内第1本这个方面的专著（除了某些民间研究概率数论的人出版的以外）。 另外，清华大学出版社出版了翻译了 （法）戴南勃姆（Tenenbaum，G.），（法）孟戴斯-弗朗斯（Mendes-France，M.）著，姚家燕译的素数论，本书也是强调素数的随机性。