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重写熵之为熵之3之重点:德令哈、理想气体和她的熵 精选

已有 4450 次阅读 2016-7-30 02:20 |个人分类:高级科普|系统分类:观点评述

(1)

    据说德令哈的夜空是如此迷人,以至于28年前,海子穿过德令哈的时候,写下了“姐姐,今夜我在德令哈,夜色笼罩。姐姐,我今夜只有戈壁,草原尽头我两手空空,悲痛时握不住一颗泪滴……”。

    我也开始回忆28年前的那个夏夜,我在做什么。我终于回忆起来,那是我第一次到达彩云南飞之处。在昆明火车站旁边的小巷子里,未来的岳母给我点了一个小锅米线,我在路边的小桌子上吃起来,而未来的领导则不断讲起了滇池电影院的豆花米线的好来。那一刻,也有着迷人的灿烂星空。

(2)

    从昆明火车站往前,我就可以走到滇池电影院,在未来的岁月里,我会在那里吃上了豆花米线;再往前多走,我就可以走到正义路,那是祖父在1941年时,病中住过的地方,他从那里出发,踏上茫茫滇缅路途。而拐个弯,我就到达了毛纺厂,在26年前,我寄住在毛纺厂的宿舍里,在那里,我开始计算《概率和统计》上的习题,并学习大数定理。好吧,我终于知道,不管一个个体的分布是多么奇妙,当我们做为统计对象的时候,我们将不可避免地落入正态分布的圈套里去,包括我们的身高、体重、钱,当然也包括爱情。因此,正态分布就像德令哈一样迷人。所不同的,是海子在德令哈写给姐姐后,就要去卧轨,而我则老是惦记着吃,就如同我总是要谈论数学一样。当然,作为一个诗人,我很惭愧。但是,作为一个和物理擦点边的人,我要告诉曹则贤兄和邢老人家的是:如同一个干部要讲政治一样,一个物理学家一定要讲数学,否则就会too 痒 too simple,晒太阳时拿衣服。

(3)

   因此,我从理想气体中分子的动量的分布出发,开始分析理想气体的熵。就如同每个诗人的德令哈都不同,我的熵,是从信息论的熵开始定义和讨论的。

  我们先分析了分子动量的空间,这个分析不出奇。我先将分子平动的三维的动量,看作三个彼此独立的满足正态分布的随机变量,然后,依靠信息论的熵定义,我计算出了一个分子在温度T的情况下其动量的信息熵(当然,动量可以直接折算成能量):


$H_{\nu}(\textbf{1})=-  ln \frac{m^{3/2}\Delta\nu}{(2\pi kT)^{3/2}}+3/2$      (1)

   然后,我认为每个分子的动量彼此间是统计独立的(统计独立是说,这两个分子处于某种状态的概率,是各自处于各自状态的概率的乘积),则N个分子的动量的信息熵就是各个分子动量信息熵的直接加和:


$H_{\nu}(\textbf{N})=-  N ln \frac{m^{3/2}\Delta\nu}{(2\pi kT)^{3/2}}+3N/2$   (2)


而$\Delta \nu= \Delta \nu_{x}\Delta\nu_{y}\Delta\nu_{z}$,是三维速度空间之体积微元,之所以不写成微积分中常用的如$d\nu_{x}d\nu_{y}d\nu_{z}$这样的形式,是因为,信息熵的定义本质上是离散化的,也就是说我们是靠各离散状态的概率,而不是连续取值的随机变量的概率密度来计算信息熵的。因此,我这是为了表达离散化的过程。

   我是单独来计算气体分子关于几何空间的信息熵的。这个计算的与往常统计物理的教科书的不同在于,我认为几何空间的一个位置微元$\Delta V$一旦被占据,别的分子就占据不了了。这一点,在统计物理教科书里是转身划过,而不讨论的,只是说,经典的理论由于粒子的可分辨性,所以记状态应该如何使用排列公式,而不再说实际上一个粒子处于a位置动量为$p_{a}$和另一个粒子处于b位置,动量为$p_{b}$和两个粒子位置和动量同时交换,实际上是一种状态,这跟可不可分辨性根本就没什么关系。实际上,这个概念,我认为应该是Boltzmann为了将体系状态数和熵联系起来,硬是在几何空间和动量空间按相同的方式记了状态数而造成的结果。我认为这不对。换言之,我们可以认为分子的动量间彼此统计独立,但是不能认为分子的几何空间占位彼此也独立。按照这个模型,我推算出,N个气体分子在空间V占位的信息熵为:


$H_{V}(\textbf{N})=(V/\Delta V)H_{V}(\textbf{Cell})\approx Nln \frac{V}{\Delta VN}+N$ (3)


当然,这个推导引用了一些约化条件,这些条件在分子数比较多,同时气体分子相对空间而言,比较稀薄,彼此不会紧挨着的情况下,总是成立的。

最后,我认为,空间部分的熵和动量部分的熵是彼此独立的,所以总熵为彼此直接叠加。

到了最后,我再加上符合量子力学习惯的普朗克常量的处理,并按照统计力学的一般处理方式,乘上了个Bolzmann常数,即:


$S=kH_{s}(\textbf{N,V})$

                   $=k(Nln(V/N)+\frac{3}{2}NlnT+\frac{3}{2}Nln\frac{2\pi km}{h^{2}}+\frac{5}{2}N)$       (4)


这样,我就完全用信息论的方法,没有使用Boltzmann的等概率假设,也不需要量子力学以及不可区分性,推出了理想气体分子的统计力学熵,这种推法,也不会有Gibbs佯谬。

(5)

而我的假设,只有气体分子的动量遵循正态分布,气体分子彼此占位不能重叠,而且也不应该有占位的顺序问题。这就是说,今夜,只有戈壁,草原尽头,我开始想念小锅米线,焖肉米线,豆花米线和德令哈。而我的青春和爱情,在小锅米线的热气里,袅袅起来,超越了邢老人家和曹老人家对数学的责难。

Δν




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