（1）曹则贤兄的问题

   我以为姬扬的解释已经非常规范和简单了，不想曹兄将其文评为“有失水准”。所以，我这一篇写得小心翼翼。如果仍不满意，俺们再改。

   曹则贤兄主要想知道为什么F-P腔能的光功率与注入的光功率之比乘以4公里臂长，等于等效的单臂长度。

（2）迈克尔逊干涉仪的作用

   LIGO的探测极高的灵敏度，主要来自F-P腔，而不是迈克尔逊干涉仪。

   迈克尔逊干涉仪的垂直双臂结构，主要是为了探测引力波的两种模式所引起的空间长度差异。在Weiss等人于1989年递交的立项报告（https://dcc.ligo.org/public/0065/M890001/003/M890001-03%20edited.pdf）中说明，引力波是横波，有两个差45度的偏振方向，他们标为“X”模式和“+”模式。（我理解）这两个模式如果一个使空间距离变长，则另一个就使空间距离缩短。那么这两个模式投影到干涉仪垂直的两臂，将使两臂之距离产生差异，从而影响迈克尔逊干涉仪的光的干涉信号输出。这个信号的输出的变动，就反应了引力波的影响。这两个臂越长，在没有超过引力波半个波长的情况下，就有越大的距离差异，也就有越明显的光信号变化。

   但是，过分加长臂长是不现实的。首先地球本身有弯曲的表面，太长就意味着臂的一段要垫到足够高，高到超过了工程允许的程度；其次，镜子的直径要足够大，镜子的表面形状还要足够准确，以便对付瑞利判据所对应的衍射极限（这个部分也可以用测不准原理来计算。所谓量子力学对实验的影响，作为工程师，我们考虑最多的，就是衍射极限。对激光而言，即要考虑束散角。量子力学里考虑的，即是相格和光子简并态。）；再次，地球在潮汐力等作用下的轻微形变对于测量的影响可能变得难以克服。故此，在立项报告中，Weiss等将LIGO干涉仪的臂长定在了4公里。而增加等效臂长的任务，就落在了F—P腔上。

（3）F-P腔增加臂长的等效作用

   F-P腔由两个相对的反射镜面（一个反射镜有轻微的透射）构成，用于激光谐振腔，精细光谱检测等领域。常用的有平-平腔（两个反射镜面都是平面镜）、平-凹腔（一面平面镜，一面凹面镜）、凹-凹腔（两面凹面镜）。在每个单臂上的F-P腔，LIGO都是用的凹-凹腔。但是，为了分析简单起见，我们用平-平腔来解释如何增加了臂长。

   很容易想象（我就不画图了），一束激光被注入一个平-平腔，那么这光束每走一个来回，都会有一部分光，由于镜子的透射，而泄露一点出去；如果这个来回的路程，正好是光波长的整数倍，结果所有泄露出来的光彼此相位完全相同，相干叠加的结果，必然导致漏出来的光达到最强。而一旦这个来回的路程，不是光波长的整数倍的时候，这些来来回回的光彼此之间虽然只差那么一点点，但是来回次数较多以后，这些光之间的相位积累起来就差得多了，彼此之间就会出现相干相消的情况。举个简单的例子，比如单个来回前后漏出来的光彼此只是差100分之1个波长，但是走上51个来回而漏出的光就与开始一个来回就漏出的光就相位相反，如果这些反射镜的透射系数相当小，使得走了51个来回的光和开始一个来回漏出的光基本上幅度一致，那么这些光就相互抵消，这个时候出射光完全相干相消，我们可以同理考虑第2来回合第52个来回的光，第3来回和第53来回的光......彼此间的相干相消。如此，在平面镜垂直的出射方向，就没有什么光出射了。

   这样，我们就可以说，光在腔里面走得越久，我们就越能将光的这种相位偏差积累起来，以便反应相位的细微变化，也就越能反应臂长的细微变化。

   这个讲法很形象，Weiss等的计划里暗示的意思是这样，PRL的文章里暗示的还是这样。他们当然不需要为各路科普文章-尤其像“知乎”这样由小朋友为主自己写的想象型科普-的浪漫发挥负责。但是，对于曹兄这样仔细的人，马上问题就来了：如果仅仅依靠光的来回，每次按透射系数透射一点点，那这光怎么也透射不完，最后只好能量低到单个光子了事,那这光到底走了多少个来回？

   因此，我准备避开一般的科普办法，来个仿真，给大家看看：

     

    图1 n=10的情况

   图1是用Mathematica做的，语句如图中语句所示。为了计算方便起见，我们不是使用光的透射系数，而是反射系数（由于是计算相对光强，所以我们并未按出射率计算光的强弱）。这里光的反射系数为$r$，取值为0.9；光走一个来回得到的相位差为$\theta$，变成了图中的横坐标，范围为0到6$\pi$；n为光往复的次数，取为10次。计算结果为输出光强的对数$Log_{10}(Relative Light Intensity)$。

   取n=10次，估计没有将往返次数取够，因此我们将n取为20，见下图：

           

   图2 n=20的情况

   看来图漂亮一点了。因此我们猜测一下，n趋于无穷，将有一个固定的极限。因此，只要n取得足够大，我们就有足够漂亮的图。以下，我们将n取为100来看看：

    图3 n=100的情况

   

    啊，漂亮多了！

    显然，用往光的往返次数来讲问题，实在是太骗人了！真正起作用的明明是反射系数$r$嘛！

    不错，反射系数$r$越大，透射系数$t$越小，输出光强对相位差的变化就越灵敏。（注意：$r^2+\alpha t^2=1$,$\alpha$是个与材料折射率有关的系数）以下是$r=0.9998$的情况，$\theta$取值范围为0到1000分之一$\pi$。我们可以看到，相位差从0变到万分之5的时候，输出光强就下了一个量级。

   

图4   r=0.9998的情况

     

   看来，讲透射系数就好了嘛，干嘛要讲往返次数？是这样，我这里用的是平-平腔，光也没给谱线宽度。不同的腔型，不同的谱线宽度结果都有差别，再加上收集出射光的角度范围，结果都用不同。而腔的口径和腔长之比，还会影响光在腔内的传播情况：光如果由于衍射而偏离传播的直线路径，就会离开两面反射镜，传到别的地方去了。如此等等，都使得这样的估计不准确。

   所以，我们会换个思路，将最强的输出光功率作为一个标准份，考虑腔内的光功率对最强的输出光功率的倍数，等效地认为有那么多标准份的光在光腔内传播-这些光当然不能静静呆着，只好在腔内往返了。

   这就是我们这个讲法的由来，不算骗人。

   当然，你会说，这些光明明不是份份均等的，这个算法有误差。那好办，我们就打上个系数，修正一下。

   规范的的计算方式，是将这个等效的标准份数，乘以2$\pi$。这个系数的来历，来自Q值，也称为品质因数。Q值最早是用来衡量制作出的电感的纯粹程度的，慢慢地有了个抽象的定义，如下：

          $Q=2 \pi *系统内储能/系统单周期耗能 $

   对于F-P腔，我们将上式的分子分母同时除以光在腔内一个往返的时间，就得到了如下结果：

          $Q=2 \pi *腔内光功率/输出光功率 $

   这也是为什么姬扬开始使用Q值估算，我说他讲得规范的原因。

   至于“光子压缩态”，是个非线性效应，和F-P空腔没有关系。

（4）感慨

   曹则贤兄的不断追问，忽然让我回忆起27年前研制干涉仪的点点滴滴，感慨万端。感谢曹兄的信任，我希望某日有缘相见，在某个小酒馆里，仰望星空，谈论微尘乃至不可见，然后，为伟大的二十一世纪干上一杯。

（5）YC的问题

   一日，我正和郑小康探讨“天阶夜色凉如水，坐看牵牛织女星”的问题，恰逢时空里起了阵阵涟漪。不想咏春兄从斜刺里杀将出来，大叫一声：“泥马弄的我都搞不懂什么是涟漪了！”

   我要严肃地指出：首先，我们都知道“泥马渡康王”的故事，所以我们泥马连河都能渡，金兵追都追不上，所以他肯定是知道什么是涟漪的。其次，据说，爱因斯坦的引力场方程和N-S方程长得很像，既然N—S方程都可以激起涟漪，引力场方程为什么不可以？

（6）应行仁老师的问题

   应行仁老师从经典力学出发，认为天上的巨大引力变动，将引起人间的东西的感应，所以这个事情不一定是引力波，用经典力学也可以解释。

   抛开解释不谈，Weber就用过引力波引起的共振来测定引力波-不管是不是引力波这都是个物体形变效应的测量-结果全世界就他一个人可以测出来，所以大家都说他是个骗子。

   这回的实验，测定的不是物体或者地球的形变，而是测量时空的扭曲。

（7）二傻的问题

   自从二傻从“鲍得海”变成了“著名理论物理学家鲍德海”，我彻底傻了！而现在“暗物质”这样高大上的名词一出，我更是觉得无话可讲。

   不过，我有个小问题：一个有脉冲包络的振荡波，经过正色散或者负色散物质，哪个结果波形更光滑些或者说完美些呢？

（这张图里的人物，就是二傻，和我来自同一个地方：天狼星）

相关专题：人类首次探测到引力波
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