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刻舟:k如何趋于零

已有 3003 次阅读 2016-12-29 15:53 |个人分类:乱七八糟|系统分类:观点评述

1.

   终于没有了刻舟求爱或者求渔的各种纷扰,所以我可以静下心来说说刻舟求X的问题。也回答一下各路问题。

2.

   这个题目模型化过程我复述如下:

   有人质量为m,从船的一端起跳,跳至船的另一端;人腾空用时$\tau$,腾空时忽略空气阻力,水平速度为v,水平动量为p=mv;人着船后随船而行。船的质量为M,初始位置为$x_{0}=0$,初始速度为0。在整个事件发生过程中,水对船的阻尼为$-k\frac{dx}{dt}$。求最后船静止时,船的位置。

3.

   引入冲击函数,即狄拉克函数,来表示人起跳和着船的动量情况。

   起跳时,对船而言,由牛顿第二定律,其方程为:

                 $-Mx''-kx'-p\delta(t)=0$     $0^{-}\leq t<\tau$   (1)

     而第二次冲量动量变化的情况,应该是船的动量变化加人着完船,随船一起走的动量。假定着船过程瞬时发生,所以我们可以近似认为“船+人体系”的动量在碰撞前后守恒,

                 即$v(\tau^+)(M+m)=v(\tau^-)M+p$     (2)

     所以,$\tau^-$以后,(船+人)的方程为:

                  $-(M+m)x''-kx'+(x'(\tau^-)M+p)\delta(t-\tau)=0$      $\tau^{-}\leq t$ (3)

     将以上两个方程合起来,有:

                  $-(M+m u(t-\tau))x''-kx'-p\delta(t)+(x'(\tau^-)M+p)\delta(t-\tau)=0$

                                                                             $0^{-}\leq t$(4)

其中,$u(.)$是阶跃函数。

4.

    以上方程由于有$-(M+m u(t-\tau))x''$项,所以方程本身不是一个线性的方程,如果用拉氏变换求取,必然会引入卷积计算,所以并不简单。但是,如果以着船前后为两个分离的时间段,又单独分析每个时间段的情况,不管使用何种方式,都可以得到以下解:

                  $x=\frac{p}{k}(e^{-k\tau/M}-1)(e^{-kt/(M+m)}-1)+\frac{p}{k}(e^{-k\tau/M}-1)$

                    $=\frac{p}{k} e^{-kt/(M+m)}(e^{-k\tau/M}-1)$     (5)

5.

   如何从工程上理解t趋于无限大时,k=0和k趋于0时,解的情况?

   首先必须明确一个观念,物理建模都是对实际过程的理想化或者简化,所以t趋于无穷大,只是一个为了书写分析方便,我们关于“观察时间足够长”的不严谨说法和大致分析。因此,时间界限(最长观察时间)的引入,也就对上面k/M或者k/(m+M)算大还是算小提供了的依据,根据这个依据,我们很容易判别这个模型的相关结果。

   所谓k趋于0,实际上是说,k/(m+M)远小于(1/观察时间界限),因此,针对(5)式,有:

                  $x\approx \frac{p}{k}(1-kt/(M+m))(-k\tau/M)\approx-p\tau/M$         (6)

   容易验证,这个结果跟k=0没有差别。
   这就是我和文克玲老师分析的不同,也是文老师认为我错的地方。多怪我没解释清楚,怪我,怪我。

6.

   如果一定要钻牛角尖,偏偏要说时间无限长,你怎么办?我只好说,对不起,如果k严格等于零,你多长时间都满足“k/(m+M)远小于(1/观察时间界限)”的条件,我的分析总是成立的。如果k不是等于零,是个小量,那么工程上,我们就一定要界定,这个小量与其他相关的小量对比,是个什么水平,这才能讨论,要不然就很容易绕进数学的迷雾里,出不来。

7.

   当然,岳东晓的这个模型几乎没有解释力。

   理由如下:

   (1)冲击函数的取法,是有要求的,起跳和着船相对整个过程,要求发生近于一瞬间,而这个时候要求着船和起跳时间与腾空时间相比,要极短;而如果是小船的话(当然大船也没意义,这就好比蚊子在船上跳,船几乎不动,要动也是你心动。),船的摩檫力比水之阻力要高非常多,这些条件模型基本是不满足的。

   (2)就算上一个条件勉强满足,在k变成一个比较大的量(这时船不动)和可算着一个比较小的量之间水流的阻力作用,即使在起跳和着船的时候影响不大,由于(5)式在t趋于无穷大时,x趋于零,所以这些高阶影响(主要是改变了船起跳后,和着船后的初速度)也会显现出来,并且构成最终结果的船位置差异。所以岳东晓的模型,仅能给出两种极端的状况,一种是k非常大的情况,一种是k非常近与零的状况,而这两种情况,我不算也知道,一个是船不动,一个是人-船体系质心不动,而剩下的中间过程,模型不能提供任何有效的估算。

 



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