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点群不可约表示的符号标记

已有 20987 次阅读 2013-12-8 00:47 |系统分类:科研笔记

作为凝聚态物理方向的研究生,在阅读相关的文献的过程中总会遇到标记半导体能带的像$\Gamma_6$,$\Gamma_7$这样的一些符号,起初总是纳闷,这些符号是怎么定义的?为什么要这么定义?是谁给定义的?后来知道,这些符号其实跟群论有关。于是找了一些群论的教材和资料来看,可又遇到了更多的看起来奇怪的符号,比如有些点群的不可约表示就用$A_1$,$B_2'$,$E$,$T$等符号来标记,而为什么用这些符号则很少有明确的说明。

群论对于化学和固体物理领域的研究人员来说,应该是很熟悉的理论工具。它在物理和化学领域内的应用始于上个世纪30年代,在分析晶体能带和分子能级上提供的很大的简便性。群论的知识可以从很多教材和当今发达的互联网上找到,对于物理学的研究生来说也是一门常见的课程,可恨自己竟然没有选修过它。为什么呢?因为当初没有关注也没有老师要求修这门课啊————看来咱们所的研究生课程教育还是很脱节的。

从纯粹应用的角度来看,群论最有用的部分还是某个具体群的特征标表,如下图所示的是$O_h$点群的特征标表:

表中第一列就是在开头提到的让我纳闷的好久的不可约表示的标记符号,这些符号的定义让我费了九牛二虎之力才在所内图书馆的一本英文的群论教材中找到。这本英文教材的名称是《Symmetry and its Applications in Science》(A. D. Boardman, D. E. O'Connor, and P. A. Young著),在沉睡了近二十年后,被一个无名小卒给拭去了灰尘而后重见了光明。不过翻开最后一页时,我有点惊呆了,第一个借阅者竟然是褚君浩————本所本室的至今还活着的院士大牛!在褚院士之后五六个借阅者之后就再没有被人借过,这本书也够寂寞的!

这本英文书中专门有一小节来介绍点群不可约表示的特征标是怎么被标记的,大致规则如下:
1) 对一维的不可约表示,用字母$A$或$B$来表示。在最高对称性的主转动轴下的群元下的特征标为1,则用$A$来标记,若为-1,则用$B$来标记。
2)对于二维的不可约表示,用字母$E$来标记。对三维的不可约表示,用字母$T$来标记。
3)若除主转动轴外还有与之垂直的二重轴或有包含主转动轴的竖直镜面,所对应的群元的特征标为1,则加下标1,如$A_1$,$B_1$;若特征标为-1,则用加下标2,如$A_2$,$B_2$.
4)如果有反演操作对应的群元,在反演操作下基函数(或体系波函数)不变(在一维不可约表示下特征标为1),则加下标g(德语单词gerade的首字母);若在反演操作下基函数(或体系波函数)反号(在一维不可约表示下特征标为-1),则加下标u(德语单词ungerade的首字母)。

上述不可约表示的符号标记规则其实有个名称,叫"Mulliken Symbols",是1966年的诺贝尔化学奖得主Robert S. Mulliken开发出来的,这个搞化学的应该都知道。Mulliken是位得了化学奖的物理学家,在分子轨道理论上有重大的贡献,群论应该是他得心应手的玩具了,不然为何弄出了一套至今沿用的符号体系呢?
关于"Mulliken Symbols"的更详细的介绍,可以Google一下,也可以进进这两个网站:
http://chemwiki.ucdavis.edu/Physical_Chemistry/Symmetry/Character_Tables_for_Symmetry_Groupshttp://chemistry.umeche.maine.edu/Modeling/mulliken.html

但是在应用点群分体晶体能带的对称性时,又会遇到像下面一样的符号标记:


这是在分析晶体的布里渊区的波矢群时的特殊标记,每个不可约表示的标记用的不再是"Mulliken Symbols",而是布里渊区里的特殊点或轴线所对应的符号,比如$\Gamma$对应其实是像下图中所标记的$\Gamma$点:


至于下标,则与布里渊区里的特殊点及与其相连接的特殊轴线的所谓兼容性关系(compatibility relation)有关,比如$\Gamma_{12}$的含义是从$\Gamma$点过渡到$\Delta$轴,$\Gamma_{12}$标记的不可约表示可以分解为$\Delta_1$和$\Delta_2$所标记的不可约表示的直和。



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