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统计物理两年总结 精选

已有 9676 次阅读 2017-7-24 10:12 |系统分类:教学心得

先声明,本文转载无需征求我的同意.


在中国科大(简称科大)第一年上的是统计物理A, 今年春季上的又是统计物理A. 在科大,A表示要求最高的意思,B的难度要稍低一点,比如给生物系或者化学院的学生上的就是B. 首先要感谢科大的统计物理教研组的老师给我上这次课的机会.  通过这两年上课,自己对统计物理每个几角旮旯的知识点基本都掌握了,在指导学生科研上也更加得心应手,这是我的总结的出发点.



中国科大统计物理教材,上下两册,前半部分讲热力学,后面部分讲统计物理. 我比较喜欢这套教材,尤其是第二本,我觉得总结的很多东西都非常好, 系统而且全面.但是在讲述问题的时候,结构可以更加优化.


1. 教材和参考资料的选取. 我采用的是国内常用的教材,如汪志城老师的统计物理以及中国科大曹烈兆老师的热力学与统计物理. 但是同时也参考了很多其它书,包括外文书. 我不认为教材真的很重要,只是参考书而已. 上课的时候我基本是按照自己的思路讲,更多的时候采用的内容都不是这些书本上的,而是直接来自论文以及参考文献. 比如在讲述统计分布的时候,我直接参考了Bose的原始论文. 在讲述熵的时候,我从就熵是混乱度的度量的基本性质出发,通过几条基本性质,推导出了熵的形式是唯一的这一结论.这几条性质暂列如下:


(a) 熵是混乱度的度量方式,它是正的, S=0表示完全确定的.

(b) 对于给定的随机数, p = (p1, p2, p3, ...), 其中pi介于[0, 1],所有的pi求和等于1.那么熵S = sum_i f(pi),其中f(x)待定.

(c) 边界条件. 如果pi =0 或者 1, f(pi) = 0, 即在确定性情况下无熵.

(d) 对于两个毫无关系的系统, S(AB) = S(A) + S(B).


上面的四条基本性质可以得到S = -K sum pi log(pi), 其中K是正的常数,它的取值和物理系统相关.我之所以有这个问题,是因为我一直在思考,为什么所有的熵都是log关系呢? 原来如此,道理并不复杂. 


我最喜欢参考的资料还是维基百科,所以我不认为教材非常关键.现在百度百科其实有些内容介绍得也不错,知乎上有些介绍也非常专业,我并不排斥学生参考这些中文资料.  在收集这些资料的时候我自己也受益匪浅, 对书本的知识也有了新的看法.举一个具体例子,在讲Maxwell关系的时候,我给学生的作业是利用外微分方法推导所有的Maxwell关系, 如下图:


统计物理中的Maxwell关系的关系图.


我非常喜欢维基百科的这个结果,我感觉比教材上的很多总结都要好.这个图包含的信息比教材上的要多得多,不仅包括了不同的物理量的关系,也包括了它和可观测量的关系, 如果学生好好总结这个图,定会有很大的收获. 在上课的时候,我没有过多讨论这个图的奥妙,下次应该点破这层纸.


2. 纯板书的教学方式. 我不喜欢照着ppt念. 对于ppt,我自始至终有种排斥感,在我读书的时候基本就是这样. 现在很多学生不喜欢ppt,主要原因是速度太快,无法跟进. 我对ppt的排斥,是因为它固化了整个教学过程,让上课的老师无法思考问题并重新创作. 我认为的好的教学方式,应该是一种重新创作的过程,而不是按照某种固定流程的重演. 我不反对其它老师使用ppt,而且我也相信可能有些老师可以使用得非常好,我自己没有这个功底. 对我自己来说,我担心的是既然ppt上的内容固定了,在上课的时候临时讲一些别的东西就会变得非常困难.另外一个原因是很多教室的投影屏幕会遮掉绝大部分的黑板,留下来演算的空间也就不多了. 有一次去拜访我的高中数学老师,他问道我上课的方式,我说纯板书,不用ppt,他给了我大拇指. 看来高中老师现在用ppt的也不少了.


图片来自网络,投影屏幕和黑板往往会重叠. 


3. 不照搬讲义,脱稿讲演,根据需要引入新的方式. 这是我另外一件努力在做的事情.上课的时候,我会带上课本和我收集到的资料,但是在上课的时候,基本还是脱稿演算和讲解.目前我基本可以可以做到全程脱稿讲解,最长的一次是讲了三个小时(非统计物理). 为什么我要这样呢? 有两个原因, 第一,我希望我的课程是一种重新创作的过程; 第二,希望给学生传递一种自信. 基本上所有老师都有这样的经验,照本宣科的老师的课缺席率和睡觉率/玩手机率都会较高,老师上课越是自信,学生不认真的可能性就会越小.作为大三第二个学期的课程,出勤率都保持在60%左右,我感觉还不错了.当然科大出勤率更高的课程有很多.


自己私下是做了很多功课的.尽管如此,上课时有时候还是会出现一些问题,比如发现一个新问题,讲不下去了.去看讲义,发现也没有,书本上也没有,于是卡壳了.第一次上统计物理的时候,这样的尴尬局面出现过几次,第二次上课的时候,好像只出现过一次.我记得有一次卡壳和求和化积分有关,我问学生,你们都知道怎么来的吗? 学生摇头,我说那我们证明一下.我就按照自己的方法证明,可是就是相差一个8倍的因子.后来才知道原来是每个方向重复计算了两次. 


一般教材中的Maxwell关系总结,信息量有限.


在上课的时候临时决定采用新的方法,也有更多成功的例子,比如在证明Maxwell关系的时候,就是临时决定采用外微分方法证明, 比如

$dU = -PdV + TdS$


利用 $d^2=0$ , 我们立刻可以得到如下结果, 

$-dP \wedge dV + dT \wedge dS =0.$


利用这个结果可以得到各种Maxwell关系.但是由于很多学生对外微分形式不懂,所以临时需要介绍各种外微分的基本知识,并布置相应的作业.第一次上统计物理的时候,我采用的并不是这个方法, 第二次上课前几天,正好看到一篇文章讲外微分的应用,在上课之前,忽然想到了这个,于是就决定采用这个方式(科大有部分学生在高数阶段确实学习过外微分).另外一次例子是讲Poisson求和,在Haldane的bosonizaton的文章中用到过,正好在上课的时候有很多求和化积分的情况,于是临时决定采用Poisson求和法来讲解这些问题. 关于Poisson求和公式,可以参考https://en.wikipedia.org/wiki/Poisson_summation_formula



Poisson求和关系,在实空间求和等于对偶空间求和. 这些对偶关系可以揭示很多重要的物理.


我们物理中的很多问题,求和困难,但是求傅立叶变换不难,所以Poisson求和可以有很大作为.这样成功的例子还有很多,所以尽管可能有卡壳的时候,我还是觉得上课应该如此.对我自己来说,也是一个很好的训练. 有学生不理解我的做法,认为是我上课时准备不够(好像有学生就给我这样的评价). 也有学生不喜欢我拉扯很多课本外的东西,尽管我都给了他们出处. 但是也有学生感觉我提供了另外一种思路,收获很大.我感觉上课无法做到每个人都满意,譬如厨师,众口难调.但是在上课的过程中,我让学生看到了很多教材外的东西,而且有些东西我确实讲明白了,讲透彻了,所以我还是决定应该如此上课. 这些扩展让学生在学习一门课的时候,可以顺带复习一下已经学习过的课程并了解它们的具体应用. 这也是我上课的基本原则:对知识负责,而不是看学生的评价.


4. 引入课外知识以及建立不同课程之间的关联. 我一直有这样的感觉,目前我们的教材,由于是不同老师编写的,另外需要考虑它们的独立性,所以尽量删除了各门课程的关联.这样的做法无可厚非,但是上课的老师不能局限于此.比如在讲绝热过程的时候,我介绍了绝热过程的历史,包括在经典力学里面的应用,在索末菲量子化条件中的应用,在Landau-Zener过程中的应用(第一个可以严格求解的含时Schrodinger过程)以及在热力学中的应用.它们的用法各不不同,但是思想非常相似.在介绍配分函数的时候,我介绍了数学里面的cumulant展开, 并且推导了很多结果.这个结果和配分函数, 集团展开和场论以及路径积分中的linked cluster theorem有密切的关系.我自己甚至怀疑早期的科学家受到过这些结论的启发,但是已经没有办法考证了.


关于集团展开,我会给学生如下题目,请证明(来自A. Zee书本的启发),

$\langle x^{2n} \rangle = (2n-1)!!$

该结果可以用linked cluster完全表示.这些介绍,可以让学生知道我们的很多想法都不是从天上掉下来的,而是往往有迹可循.典型的例子还有Bloch定理,我就一直怀疑Bloch受到了Floquet定理(1883年,早于Bloch定理50年)的启发.类似的方程已经在数学里面研究了很多,比如1886年Hill引入的Hill方程等等.如果我上固体物理,我就会从Floquet定理,Hill方程以及马丢方程出发来讲述周期性系统的性质,而马丢方程的求解/画图也是一个必须掌握的内容(目前mathematica, matlab中都有这个函数). 配分函数的引入,何尝没有数学的影子呢? 这是我的猜测,上课的时候也告知了学生.



图片来自网络, Linked cluster theorem和路径积分


关于Cumulant展开,见 https://en.wikipedia.org/wiki/Cumulant 


另外一个例子,我感觉不错,就是计算波色爱因斯坦凝聚(BEC).一般的书本上会给出公式,但是关于它的温度是多少,很多学生是没有任何感知的.在上课的时候我和学生估算了目前冷原子中的波色爱因斯坦凝聚的温度,计算得到临界温度约为100 nK量级,这个和实验结果一致.在研究生保研面试的时候,我会问夏令营学员,BEC是什么,临界温度一般是多少,外校的学生没有一个回答上来,可见我们的教育多么浮于表面. 有一个学生能正确回答BEC现象,但是在问到, 二维系统为什么没有BEC时,就完全不会了.上课的时候,我是态密度出发讲述不同色散关系的性质以及它们在不同维度的BEC. 2017年期末考试就考了这个题目,我估计这也是为什么很多学生考得不错的原因.不来上课的学生,估计就被难住了.


我做这个推演的另外一个目的是教学生如何计算,这里需要采取很多技巧,绝非把所有单位全部代入公式计算那么容易, 具体如下:

$T_c \sim {\hbar^2 \over m d^2} \sim {\hbar^2 c^2 \over m c^2 d^2}$

其中, d为原子间距,一般为微米量级, $\hbar c = 197.326979 meV * \mu m$ , $mc^2 = 0.511 MeV * 2000 * 6$ (对Li6). 同时我们需要一个简单的换算, 1 eV ~ 10000 K ~ 10^14 Hz. 我在面试学生以及参加学生答辩的时候经常会问,1 mK是多少Hz. 少有学生能正确回答,包括做实验的毕业生.这让我非常奇怪,我觉得上课的时候有必要强调这个单位的换算,学生应该对我们的物理参数有基本的感觉.如果连基本的物理量纲在什么地方都不知道,如果很迅速抓住本质呢? 在第一次上课的时候,我还安排学生讲了BEC和GP方程的数值模拟,第二次由于时间关系,没有安排,非常遗憾,我觉得是需要安排的.有一个学生给我的评价是课本外知识太少,和前沿的关系太少,我想他误解了. 


5. 关于Project的问题以及解决方法.我希望学生做一些调研, 所以安排了Project(小项目). 第一次比较失败,没有给定课题,也没有说明格式,让学生自己找课题.后来发现很多不好的现象,比如手写的,抄百度的,抄博客的,把计算物理作业改改交来的,什么样的报告都有.还有一个学生非常有意思,不仅用手写,而且还重复了三遍:

"熵"才是宇宙唯一的硬通货!

"熵"才是宇宙唯一的硬通货!

"熵"才是宇宙唯一的硬通货!

当时正好流行"重要的话要说三遍". 我看到这个都快崩溃了.后来好歹给了他1分(总分5分), 谁叫自己没有说清楚呢. 所以第二次,我对格式有了非常明确的要求,比如报告必须有摘要,有引言,有推导,不能手写(必须用latex或者word),参考文献不能少于10篇等等.所以第二次明显好得多了,而且有些学生的推导非常详细,可以看出是花了时间和力气的.当然问题也依旧存在,以后单独写文章介绍这一点.总的来说,规定格式就好多了.希望以后学生在论文这一块可以得到更多的训练.  去年(2016年)学生的课题做得那么差,我还在想,科大的学生太差了吧? 通过第二次的调整,我感觉科大学生还可以嘛,只是缺乏足够多的论文训练. 看来合适的方法很重要.


跳高的时候,设定一个高度,不过就算失败. 教学和培养学生的时候,不能采用这种粗暴的判断标准.


在第二次上课的时候,我给了学生大概50篇论文,让他们自己挑选一篇作为自己的课题.其中论文内容包括光子BEC的,交通流,金融物理,重整化群,量子相变,软物质,active matter,非线性过程,城市发展,病毒传播,随机网络等等.我觉得对学生是一个很好的视野开拓,原来统计物理的思想还是蛮有用的.明年在上课的时候,应该用几个具体例子强调统计方法在其它领域的应用,这样学生应该做得更好,比如今年二维光子BEC的文章,明年说不定就是作业了.


6. 不足的地方/需要改进的地方. 最后解剖一下自己.到今年已经上了五年的课了,不算新手了.上过三次"多体理论",两次"统计物理"以及一次"凝聚态物理中的拓扑相变".感觉收获最大的其实不是学生,而是我自己.站在讲台上讲,和坐下下面听,体会是完全不同的.关于上课,有一个一桶水和一瓢水的观点.我自己没有一桶水,最多一盆而已.所以在上课的时候,还是可能会掉链子.这些均说明我知识有限,对知识的理解还不够深刻.


有老师问我,你知道统计物理的核心是什么吗? 我当场快懵了. 这个问题我想了很久,物理学的理论都是几个基本定律开始的,但是核心是什么,我还真的很难回答.我目前的理解,统计物理的核心是用"统计"的方法来研究物理问题. 我在课堂上也比较了我们四大力学的基本思想,比如经典力学的确定性,相对论的相对性,量子力学的概率性以及统计力学的统计性.但是还是感觉不够,因为这门课有很多让人眼花缭乱的细节,所以很多学生在学习这门课的知识的时候,会集中在细节上,而忽略"统计"的基本思想了.怎么才能让学生更好的抓住统计的思想,并很快用在别的地方?这一点我觉得自己做的还不够.在我给学生的课题里,我试图用统计的思想来解决所有的问题,感觉有点困难,不同的问题往往涉及不同的方法.比如我目前就没有弄明白在病毒传播模型以及无标度网络中如何计算配分函数,好像可以.看来要解决一个问题不难,但是要从最根本点理解一个问题,非常困难.


当然板书不工整,也是一个问题.我很佩服有些老师字写得漂亮,板书非常工整.对统计物理的历史背景,介绍得也不多,关于它的思想和文化方面的东西也介绍得少了一点.庆幸的是,这两年的教学中我还没有碰到我完全不懂不能驾驭的地方/问题. 目前感觉自己的问题,可能也是很多年轻老师的普遍问题,还是看问题不够深刻,不能让学生认识到更加本质的东西. 这也许需要时间的沉淀和积累. 如果在未来十年我能把所有大学物理的课程都上一遍,我对它们的理解应该会更好.


7. 关于考试以及成绩. 由于有好几个老师同时上这门课,所以考试是集体出题.而且题目一般较难.今年统计力学期中期末的平均分分别为48分和56分. 有学生感觉受到了打击,大可不必.我自己的原则是,与其最终在考分上难为学生,还不如让学生在过程上付出更大的努力.所以作业,课题以及考试都比较难,需要付出很大的努力.但是最终成绩还不错,一般有1/3的优秀(超过85分), 75 - 84的也占了1/3, 最终有极少数的不及格(~10%).


厂家直销,包邮.但是上课的时候,千万不要用这种瓢舀"水"给学生.


8. 教学对我自己的启发和影响. 这些课程让我在科研的路上走得越来越稳健.比如在指导学生做冷原子的研究的时候,我通常会指定学生看"原子物理"的选择定则,"统计物理"的BEC以及临界温度的估算,"固体物理"的Wannier函数,以及"量子力学"的散射理论.我会非常准确定位到具体的章节上,而不是笼统地给学生几篇论文,让他们自己看.关于格林函数部分,我会让学生看"数理方程"的格林函数,"微积分"的傅立叶变换和Laplace变换,以及Mahan书本的格林函数的定义, 并告诉他们这些定义看起来各不相同,其实是一致的.这些都得益于我在过去几年的教学,在文献里面,是很难看到这些细节的. 这些经历让我自己非常明白要进入某个领域,需要什么知识,又在哪里可以找到这些知识.我自己也一直坚信,科研的最前沿和最后方是密切相连的. 在指导学生的过程中,我碰到的最多的,不是学生不够勤奋努力,而是学生基础知识不理解/忘记了. 


我了解的知识有限.如果有一桶水,舀一瓢水给学生,那都是轻而易举的事情.科大老一辈的科学家中,很多人都有这样的水平.目前网上还有龚升老师的视频,每次看都感悟不同,对不同的知识,信手捏来,毫不费力气.前面教学过程中的一些新方法,新技巧,都是自己平时的积累所得,有些来自科研,有些来自其它课本.教学相长,我是深有体会,此文的另外一个目的,就是用自己的切身体会再说一次这个老道理.如果没有教学作为支撑,我们的科研只是我们精心搭建的空中楼阁而已.


本文图片均来自网络.




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