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勾股定理与科学传承

已有 6098 次阅读 2016-8-28 06:36 |个人分类:历史现象学|系统分类:科普集锦

高中历史老师讲到古代中国数学成就之一：“勾三、股四、弦五 ”，勾股定理。我当时不免疑惑，这只是3、4、5一组整数，能代表发现了直角三角形的边长关系吗？是不是存在夸大？这个疑问一直在我心里，但没有足够的动力去寻找答案 -- 在学习工作中也不需要知道。中国古代勾股定理的实质内容，我是在看了一本西方人写的数学史（英文）才有了一点具体的了解，该书把中国历史上的各种数学著作做了相当详细、系统的概括。

我们的祖先不只是找了3、4、5 这一组数，而是（1）文字陈述了普遍定理；（2）证明了普遍的定理；（3）给出了一系列难度不断加大的练习题与解法。以汉代的《九章算术》一书为例，它是这么写的：“勾股各自乘并而开方除之即弦”。勾三股四弦五只是书中的《勾股》一章的第一道习题。这之后是复杂程度不断加大的题目。我举该章第 12 题为例：【今有户不知高广，竿不知长短。横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出。问户高、广、袤各几何？】（有门不知道高与宽，杆子不知道长度。横着超出4尺，竖着超出2尺，斜着正好通过。问门高、宽多少。）

书中之后是上题的解答过程，以及后人的进一步注释。这样的题目，我看可以作为高考历史题，测试历史同时也测试数学，也顺便让学生了解到古代中国的智慧。我文末附上《九章算术》部分内容。

西方科学的一个显著的特征是极大的传承性。阅读西方的科技史，几乎就像是一个个跨越数百年的侦探故事，环环相扣，既有成功的经验，也有更多的失败的启迪。今天我们的初中生学习抛物线运动、牛顿定律，大学生学习麦克斯韦尔方程，都对它们的简洁优美赞叹。但如果我们看他们的原始著作，会发现极为繁琐、很难看懂。我们学电磁理论时，不免为麦克斯韦尔方程的美妙而惊叹不已，就这么几个方程搞定了全部的电磁理论！但如果翻出麦克斯韦尔的原始论文，你会发现，里面有约20个分量方程，极其 tedious -- 那时没有偏微分符号，也没有矢量符号。再以牛顿的《自然哲学之数学原理》为例，所用的数学基本上是原始的平面几何，代数很少；虽然牛顿发明了微分，但其书里没有任何微积分。我在文末附上牛顿书中的一页，讲怎么计算抛物线运动物体某个时间的位置。为了这个中学问题，牛顿写了几页纸，证明了若干引理。

但我们知道，牛顿之后，力学研究步步推进，一个 F=ma 经过多年的研究，到鸦片战争前 30 年（1809），欧洲人已经把牛顿力学发展成了下列方程组：

$\{q_i, p_j \} = \delta_{ij}, \dot{q} = \{q, H\}, \dot{p} = \{p, H\}$

上面的花括号叫做 Poisson 括号。当年学理论力学时，我曾纳闷，拉格朗日已经够了吧，越弄越抽象，难道就是为了好看？过了一个学期，才明白其中的天才。100年后，人们仅仅是把上面的花括号变成方括号，就是全部的量子力学！量子力学与牛顿力学的区别仅仅是方括号与花括号的区别，我们不得不赞叹那位把牛顿力学发展到上面这组方程的人。那些以为量子力学是空穴来风的，显然根本没有学过或者没有学懂量子力学。

西方人能够在前人小小的突破基础上，不断扩大成果，其文明不断积累小的进化加速前进。杨振宁创立了非阿贝尔规范场理论，之后规范场论成了全部粒子物理标准模型的基础不说，它还被运用到了纯粹经典力学的问题，例如猫的空中翻转以及汽车的驱动等可变形物体的机械力学。

相比西方在前人基础上不断推进，中国古代科学似乎是无目的地自然进化，经常发生进化基因丢失的现象，偶尔才有天才人物重新发现古人的成就。从历史看，中国文明从汉朝之后几乎一直走下坡路，汉代《九章算术》中的很多数学题到唐朝已经太难无人能解，只好删除了。清代之后，汉人已经基本无法看懂祖先的科技著作，只能靠李约瑟这样的西方科学家才能拼出一个相对完整的画面。未来中国文明的发展，首要的是确保文明--包括对西方文明--的传承，并在前人的基础上一步一个脚印地继续推进。

参见：《为什么中国拿不到诺贝尔奖》《科学质疑的科学素养》

附一：《九章算术》部分内容