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楼边风大之看图解答

已有 2630 次阅读 2016-8-26 09:06 |系统分类:科普集锦

高楼边的风为什么大?从直观上很好理解,风迎面吹过来被楼挡住了,只能从边上绕过去,原来是一条宽的风道,现在变窄了,风速必须更大才能通过同样的空气量。这是定性的理解,现代科学是数学化的,得有计算才行。在这篇博文里,我讲一下怎么计算出这个优美的速度公式。你会发现非常简单。


首先,我们考虑一个问题。如果在顺着风的方向放一块厚度为零的平板,也就是说平板的平面与风向平行,这个平板对风有没有影响? 答案应该是显然的,没有任何影响。因为没有任何东西在挡风。

现在,我们把风中的圆柱压缩,再压缩,最后压成一块平板,结果如何?对风没有任何影响。如下图

circle-squeeze.jpg

如果我们把平板鼓起来恢复成圆呢? 从数学上来说,上面的最左边(圆柱)一个情况跟最右边(平板)是“等价的”,叫做 conformal transformation. 以前我写过一个简单的JAVASCRIPT 对照片进行有趣的变形,就是使用了 conformal 变换。效果如下


上面的照片用所谓莫比乌斯变换。类似的变换可以简单解决风绕圆柱流动的速度问题。我们知道在平行风向的一块平板的情况下,风速没有影响,现在我们用一个变换把平板变成圆柱,风的流线也会跟着鼓起来(得绕着走了),那么绕着圆柱的风速就算出来了。如果你觉得这太不可思议,可以回顾一下解析函数的神奇。

所以我们的任务是找一个把圆变成线段的 conformal 变换。

回顾复数的概念:一个单位圆的方程是 $t =e^{i\theta}$ 要把这个圆变成一条水平线段得把它的虚部消去: $t^\prime = e^{i\theta} + e^{-i\theta} = t+ 1/t$ 可见,用变换 $z^\prime = z + 1/z$ 其中 $z= r e^{i\theta}$ 是用圆心为原点的复数坐标。这个变换如果明确写出实部与虚部是:

$z^\prime = z + 1/z = z + \frac{z^*}{zz^*} = r e^{i\theta} + e^{-i\theta}/r \\ = (r + 1/r) \cos\theta + i (r-1/r) \sin\theta$

我博文中的计算一般都是一步不漏,没有浪费纸,直接敲进去,大家可以跟着心算。在圆压扁成线的情况下,风速 v 水平向右,其势为   $U= v \hspace{1mm} x^\prime$ 因此,在圆的情况,风速的势为

$U = v (r+1/r) \cos\theta$

对 r 与角度分别求导即得出风速的径向与切向分量:

$v_r= v\hspace{1mm} (1-\frac{1}{r^2}) \cos\theta$

$v_\theta=\frac{1}{r} \frac{\partial U}{\partial \theta}= - v\hspace{1mm} (1+\frac{1}{r^2}) \sin\theta$


好像我们什么物理没有用(注一),结果把一个小学生都知道的结果神奇的变成了圆柱挡风的公式!知识就是力量,信乎! 如下图:
350px-Inviscid_flow_around_a_cylinder.gif

从上面的公式可见,在 r=1、角度 pi/2 处 (上图圆顶部)风速为原来风速的两倍。正如北大武教授文章中说的,屋顶的设计风速得考虑这个风速的增大效应,设计成抗12级大风,可能得考虑圆顶上面的风不止12级(点击查看屋顶被风掀起的图片)。知识也是安全。

注一:好像而已


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