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一个忘却的原创公式
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昨天在翻东西的时候，发现以前的一些纸上，我算出了如下原创公式：
其中 ϵ>1。
突然想起，尽管这个公式看起来相当美妙，当时得出这个还颇为欣慰。没有被看似复杂的求和吓住，而是毅然寻求解析结果。但这个公式我却从未代入数字进行过验证呢。
N=0 : 左边为 1/(1−ϵ), 右边 −1/ϵ2−1−−−−−√cot(1/2arccos(1/ϵ))， 运用 cot (x/2) = sin(x)/(1- cos(x)) ，可以验证两边确实相等。
N=1: 左边求和只有三项，11−ϵ+21−ϵ/2, 右边是 −3/ϵ2−1−−−−−√cot(3/2arccos(1/ϵ))。这个简单的情况，用中学代数应该也能够证明左右相等，但估计需要花费相当的力气了。
任意的N, 左边是大量的求和，右边却是一个式子。怎么得出来的？留给读者作为练习吧。老是做小学数学题不能进步，这可能需要一本大学二年级数学了。
$\sum_{k = -N}^{N}\frac{1}{1- \epsilon \cos \frac{2k\pi}{2N +1}} = -\frac{2N+1}{\sqrt{\epsilon^2-1}}\cot\left[\frac{2N+1}{2} \arccos(\frac{1}{\epsilon})\right]$
现在代入数字算算看。不能不承认解析解的优越啊。
计算代码：
function sumLeft (e, N) {
var res=0;
for(var k = -N; k <=N; k++){
var p = 2*k*Math.PI/(2*N+1);
var s = 1 - e* Math.cos( p);
res += 1/s;
}
return res;
}
function computeRight (e, N) {
var a = Math.acos(1/e);
var v = -(2*N+1)/Math.sqrt(e*e-1);
return v / Math.tan ( (2*N+1)/2 * a ) ;
}
var e=2.5;
for(var i = 1; i<50; i++) {
var v1 = sumLeft (e, i);
var v2 = computeRight(e, i);
jQuery("#ydxresult").append('v1='+v1+', v2='+v2+'<br>');
}
令 e=2.5，N从0到49，结果如下：
| N=0 | v1=-0.6666666666666666 | v2=-0.6666666666666667 |
| N=1 | v1=0.22222222222222243 | v2=0.22222222222222188 |
| N=2 | v1=8.78787878787879 | v2=8.787878787878784 |
| N=3 | v1=-2.34622467771639 | v2=-2.3462246777163904 |
| N=4 | v1=2.1681681681681693 | v2=2.168168168168164 |
| N=5 | v1=-51.55513547574028 | v2=-51.55513547574078 |
| N=6 | v1=-1.87179013940669 | v2=-1.8717901394066947 |
| N=7 | v1=7.312563722553321 | v2=7.312563722553296 |
| N=8 | v1=-16.216247246272268 | v2=-16.216247246272303 |
| N=9 | v1=0.1457997637072338 | v2=0.1457997637072201 |
| N=10 | v1=22.04944831019653 | v2=22.049448310196425 |
| N=1 | v1=0.22222222222222243 | v2=0.22222222222222188 |
| N=2 | v1=8.78787878787879 | v2=8.787878787878784 |
| N=3 | v1=-2.34622467771639 | v2=-2.3462246777163904 |
| N=4 | v1=2.1681681681681693 | v2=2.168168168168164 |
| N=5 | v1=-51.55513547574028 | v2=-51.55513547574078 |
| N=6 | v1=-1.87179013940669 | v2=-1.8717901394066947 |
| N=7 | v1=7.312563722553321 | v2=7.312563722553296 |
| N=8 | v1=-16.216247246272268 | v2=-16.216247246272303 |
| N=9 | v1=0.1457997637072338 | v2=0.1457997637072201 |
| N=10 | v1=22.04944831019653 | v2=22.049448310196425 |
| N=11 | v1=-10.448938927773126 | v2=-10.448938927773172 |
| N=12 | v1=4.0301682758543995 | v2=4.030168275854378 |
| N=13 | v1=204.03247770475298 | v2=204.03247770474732 |
| N=14 | v1=-6.416520867451066 | v2=-6.416520867451088 |
| N=15 | v1=11.168038311273389 | v2=11.168038311273392 |
| N=16 | v1=-50.3595517966341 | v2=-50.35955179663478 |
| N=17 | v1=-2.0430717924892474 | v2=-2.043071792489289 |
| N=18 | v1=26.66760616010229 | v2=26.667606160102213 |
| N=19 | v1=-24.10599748791643 | v2=-24.105997487916653 |
| N=20 | v1=3.6884939681673616 | v2=3.6884939681673212 |
| N=21 | v1=88.81761596611872 | v2=88.81761596611857 |
| N=22 | v1=-14.01346101143619 | v2=-14.013461011436357 |
| N=23 | v1=12.282694604444472 | v2=12.2826946044444 |
| N=24 | v1=-166.14205370675612 | v2=-166.14205370675865 |
| N=25 | v1=-6.4849629230659485 | v2=-6.484962923065991 |
| N=26 | v1=27.741403824978292 | v2=27.74140382497799 |
| N=27 | v1=-47.934624367711955 | v2=-47.93462436771241 |
| N=28 | v1=1.3132806447595318 | v2=1.3132806447594205 |
| N=29 | v1=68.66509458626514 | v2=68.66509458626375 |
| N=30 | v1=-25.830129209690426 | v2=-25.830129209690845 |
| N=31 | v1=11.269632211510912 | v2=11.269632211510812 |
| N=32 | v1=1258.99415918091 | v2=1258.9941591804898 |
| N=33 | v1=-13.554073767723471 | v2=-13.554073767723583 |
| N=34 | v1=26.692230826516347 | v2=26.69223082651629 |
| N=35 | v1=-95.51168436419735 | v2=-95.51168436419863 |
| N=36 | v1=-3.1258549194898846 | v2=-3.125854919489899 |
| N=37 | v1=58.612208992763115 | v2=58.61220899276284 |
| N=38 | v1=-44.209354807887046 | v2=-44.209354807887685 |
| N=39 | v1=8.380680705299094 | v2=8.380680705298825 |
| N=40 | v1=202.21562050171045 | v2=202.21562050170257 |
| N=41 | v1=-23.971169938005662 | v2=-23.971169938006312 |
| N=42 | v1=24.024338884983123 | v2=24.02433888498289 |
| N=43 | v1=-230.62556938182516 | v2=-230.62556938183786 |
| N=44 | v1=-9.849615435555558 | v2=-9.84961543555586 |
| N=45 | v1=51.18797791251623 | v2=51.18797791251607 |
| N=46 | v1=-74.3991997903784 | v2=-74.39919979037852 |
| N=47 | v1=3.654035092809811 | v2=3.654035092809533 |
| N=48 | v1=126.21876053629472 | v2=126.21876053629506 |
| N=49 | v1=-39.06782670470071 | v2=-39.067826704701254 |
https://blog.sciencenet.cn/blog-684007-921560.html
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