yuedongxiao的个人博客分享 http://blog.sciencenet.cn/u/yuedongxiao

博文

科普:用中学数学与费马原理推导折射定理

已有 6079 次阅读 2014-5-8 11:10 |个人分类:物理|系统分类:科普集锦

很多自然现象的数学分析都需要微积分,但这往往有个问题,那就是经过一系列计算的中间步骤之后,对相关的物理反而搞不清了。经常在算出结果之后,要进行一大通的总结、分析,才能得出物理,而不是每一步计算都使人对相关的物理有更多的理解。比如说,行星椭圆轨道的问题,一般的计算是解一个二阶常微分方程,中间还搞了一个 u=1/r的变换。为什么? 很难说清楚。当然也可以用能量守恒关系楞积分,但计算更为繁琐,椭圆怎么出来的更是糊涂。这个问题我用中学数学解出之后,顿时就清楚了,而且每一步计算都使人对这个自然现象理解更深,而不是更糊涂。


因此,对于自然哲学的理解,应该尽量先回到人更有直觉的代数,加减乘除,在需要的时候,再拿出分析工具。就像种菜,先用手探探土壤,然后再开始用锄头。

前天吃饭的时候,服务生端上一杯冰水,无意中,我放了一根筷子进去,读者立刻知道,应该看到筷子中间折了一下。原因是,水中筷子反射的光在出水的时候改变了方向。这个折射现象,幼儿园小朋友都知道的。物理原理是什么?为什么光不走距离最短的直线,而是来个转折呢?

实际上,光走的路径是一条最优路线,但不是距离最短,而是从出发点到目的地的时间最短。就像你把GPS导航设成达到目的地最短时间一样,光似乎有种第六感觉,预先知道哪条路径时间最短。但这不能证明有上帝,物理学在寻求这个原理更深层的原理时,恰恰证明了没有上帝。这一点,我在之前与基督教的朋友们辩论时提到过。

好。我们知道了基本原理:光走从出发点到目的地时间最短的路径。这称为费马原理。现在看看为什么直线不一定是时间最短的路径。如下图(方枪枪或者猫眼同学,你们能不能画一幅啊?)


光在水下的速度为v1,水上的速度为v2, v1小于v2。从A到B的直线距离最短,但是光在水下跑的距离长,导致时间长,要减少时间,光应该减少在水下跑的距离,这样水下时间减少,但减少水下的距离,在空气中的距离就延长了,时间增加。在某个角度,这个从A到B的总时间最少。


搞清了基本原理,下面就是数学了。通常的做法是,算出光路径的总时间与光出水位置的关系,然后进行微分计算,最后突然发现,这不出现了两个角度的正弦吗?美妙简洁的物理(或者数学)在计算中几乎丢失了。所以,我们试图回归人的本能,加减乘除。


如果你向正上方扔一个球,什么时候球的高度最高?答案是球速度为零的时候。速度为零是什么意思?就是说高度随时间的变化在那一瞬间为0。类似的,在上面的图中,假设最佳出水点为C,那么如果我们把这个出水点做微小的变化到D,ACB与ADB两条路径的差不是正比于CD之间的距离,而是为零。换言之,时间最短的路径附近的路径都差不多,英文称为stationary路径。有了这个概念,确定最佳出水角度就简单了。




http://blog.sciencenet.cn/blog-684007-792439.html

上一篇:用中学数学推导出行星椭圆轨道方程(2)-- 圆锥截线
下一篇:宇宙大爆炸不是胡思乱想

7 张学文 张慧铭 徐传胜 尤明庆 曹长青 杨正瓴 rosejump

该博文允许注册用户评论 请点击登录 评论 (9 个评论)

数据加载中...

Archiver|手机版|科学网 ( 京ICP备14006957 )

GMT+8, 2019-10-19 07:52

Powered by ScienceNet.cn

Copyright © 2007- 中国科学报社

返回顶部