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科普量子力学(1)

已有 3899 次阅读 2012-3-27 10:41 |个人分类:物理|系统分类:科普集锦

传统的量子力学概念是把经典的测量量变成满足一定对易关系的算符。至于为什么如此,就像为什么f=ma一样,属于公理,是没有解释的。由此引发的一系列的争论,什么波粒二象性之类,都是由于缺乏这个“机理”的解释。

现代物理学已经超越了那个框框,往前进了一大步。目前的量子理论是基于以下两个原理

1)作用(action)原理;
2)规范对称原理;

用第一个原理,可以推出量子力学,并在极限情况下推出f=ma。
用第二个原理,可以推出所有相互作用。

但在此之前,我们先回顾一下量子力学的历史发展过程。

量子力学首先是从普朗克-爱因斯坦开始,他们提出,光子的能量E等于一个常数hbar乘以其角频率omega:

E = hbar * omega 

为方便起见,我们令hbar=1, 这个光子能量公式简化为

E=omega

德布罗意在此基础上推广,他说即使对于有质量的粒子,这个关系也应该成立,而对于静止粒子,E=m*c^2(爱因斯坦能量公式),为简便起见,令 c=1, 我们有

E=m*c^2 = m= omega 

因此粒子可以用函数 exp {- i*m*t} 描述。

在x方向运动粒子该用什么函数描述呢?这可以视为一个参照系变换的问题。m*t可以视为四矢量 (m,0,0,0)与(t,0,0,0)的内积。(m,0,0,0)在经变换后就是(E, px, 0, 0), 
(t, 0,0,0)则成为 (t, x, 0,0)。

因此,运动粒子的“波”函数应该为 

psi = exp { -i (Et - px*x)}.

以上相当于只是 E = omega的假设,下一步的任务是找到产生上面这个波函数的方程。通常,我们是知道波动方程推导出波,现在是一个反向工程。

波动方程的一般形式是:

(一些算符)psi =0

上面的波函数psi,对时间取偏导得到 -iE * psi,对空间取偏到得到 i*px*psi。

而能量E与动量px之间是有关系的。

能量E与动量p的关系是

E^2 = p^2 + m^2

或者说 E^2 - p^2 - m^2 =0

如果直接套用这个关系,把E换成对时间的偏导,则E^2为对时间的二次偏导,对p^2也进行类似替换,我们得到Klein-Gordon方程。实际上,薛定谔首先采取的就是这个方案,但据说因为其计算结果不能给出正确的氢原子精细结构,被薛定谔放弃了。(在薛定谔之前,泡利已经用海森堡的矩阵力学算出了氢原子的能级)。

薛定谔最终采用的是牛顿力学的近似能量公式

E = p^2/2m

得出其薛定谔方程。

狄拉克采取的方案是对 E^2 = p^2 + m^2 开方

我在一篇博文中已经介绍。由此他推导出狄拉克方程,这个方程要求粒子有自旋,而此之前,泡利的自旋是人为地加入。

 


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