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两个泡泡之间的相互作用 -- 一道面试题 精选

已有 4551 次阅读 2019-3-11 14:15 |个人分类:物理|系统分类:科普集锦

前些天,一位大学同学在微信群里贴了一道物理题给大家换换脑子。题目是:各个方向无限均匀液体有里两个泡泡,它们是趋向于靠近还是离开?据说这是剑桥大学的面试题。

我的解答是:靠近。因为两个泡泡相当于两个负质量物体,其万有引力相吸引。但是,液体里的泡泡实际是没有液体的空间,并不是真正的负质量,假设泡泡为真空, 其质量实际为零,所以上面的这个论证存在一个跳跃。怎么从液体的牛顿引力推导出两个泡泡之间的等效相互作用呢?

无限各向同性液体内从对称性可知引力场为0,第一个泡泡产生的引力场为0减去一个泡泡液体的引力场,也就是 0-(-G M 1/r) = G M1/r, 第二个泡泡的引力势能为 -G M1 *M2/r。这类似于所谓狄拉克电子海。在那个图像里,无限的负能级全部被电子填满,当电子海出现一个泡泡(或者说空穴),它就是正电子。

更详细的论证,我们计算这个系统的引力势能与两个泡泡距离的关系。

设当不存在泡泡时液体内的引力势为 $\Phi_0(r)$,现在假设我们在坐标原点处(0)取走质量为 $m_1$ 的液体而形成有一个泡泡的系统,其引力势 $\Phi_{-1}$是什么呢?由于引力势可以叠加,有一个泡泡系统的引力势加上从泡泡处取走液体的引力势等于无泡泡系统的引力势。因此:


$\Phi_{-1}  + \phi_{m_1} = \Phi_0\\ \phi_{m_1} = -\frac{G \ m_1}{r}$


因此,有一个泡泡的液体的引力势为


$\Phi_{-1}   = \Phi_0 + \frac{G \ m_1}{r}$


以此类推,当在 R 处还有一个泡泡时,系统引力势为 


$\Phi_{-1,-2} = \Phi_0 + \frac{G \ m_1}{r} + \frac{G \ m_2}{|\vec{r}-\vec{R}|}$


现在我们计算系统的引力势能


 $E = \frac{1}{2} \int \Phi_{-1,-2} (\vec{r}) \ \rho (\vec{r}) \ d V $


\rho 为密度。上面公式中的1/2是因为积分实际重复算了势能。两个泡泡系统的密度分布近似 为 :


$\rho (\vec{r})  =  - m_1 \  \delta(\vec{0}) - m_2 \ \delta(\vec{R}) + constant $


$\delta (x) $ 为狄拉克函数(当然也可以将泡泡具体为一个球空间,这就避免了 delta 函数带来的问题)。代入引力场与密度分布到能量公式,我们只对与 两个泡泡之间距离 R 有关的项感兴趣,得到:


 $E(R) = - \frac{G \ m_1 \ m_2}{R} + ...$


可见,两个泡泡系统的引力势能随着泡泡距离变小而变小。因此,两个泡泡将倾向于靠近。而且计算中我们发现,泡泡相当于负引力质量物体。之所以强调是引力质量,是因为它只是用于引力计算。泡泡的惯性质量并非负值。泡泡运动,液体必须朝相反方向运动,因此如果把泡泡当成运动物体,其动能为正值,其惯性质量也是正的。

之后,我把这道题转帖到另一个物理群。一位同学说当年他去面试工作时就考了这道题,他回答说两个负质量吸引,答对了所以就录用了。在那工作了10多年。那是一家顶尖的半导体设备公司。看来,纯粹物理在物理之外也是有用的。



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