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尧代观象台的相关计算

已有 982 次阅读 2018-7-14 09:44 |个人分类:天文|系统分类:科普集锦

昨天看了一个考古节目,说在距今4700年的山西省襄汾县陶寺城遗址发现一个观象台。在当地发掘中发现一处夯土台上有若干柱子的基础,考古人员把相关数据交给中国天文学者进行计算,认为这是一个古观象台。从一个固定观测点看,在不同的节气日,太阳升起时出现在不同的柱子缝隙之间。史记-五帝本纪》记载尧帝【其仁如天,其知如神...乃命羲、和,敬顺昊天,数法日月星辰,敬授民时。】因此,考古人员大胆推断这个遗址可能正是帝尧的都城。(下图来自网络)

0.jpg


节目中提到,为了计算太阳升起时的角度,很费了一番周折。开始竟然是等到冬至去实测,结果天天气不作美。看到这,我想起了这篇《日夜的方程》中计算日出、日落时间的方程。稍加改变,就可以计算日出时太阳的角度了 -- 也就是阳光与地面正南方向的角度。如果地球自转轴没有倾斜而是与公转轨道平面垂直,那么太阳总是在正东方向升起,与正南方向夹角为90度。现在我们需要计算的是实际情况。为完整起见,我下面重复《日夜的方程》的部分内容。


要做这个计算,需要先确定坐标。那么就让我们以冬至这点的状态设置坐标,然后开始计算。下图中,O是地球的球心,N是北极,S为南极,地球绕 NS 轴自转,P为地球表面一点; A 为太阳所在,但应该想象太阳在右边无限远处,阳光是平行的,方向是从A到地心的连线;地球绕太阳的轨道是在水平面上,DOE 线垂直于轨道平面;地球自转轴与 DOE 线的夹角为 $\beta$,就像个倾斜的陀螺。冬至日的时候,NOAD 四点在同一个面上,垂直于地球轨道平面。此时,地球自转轴与阳光的夹角 <NOA 就是地球自转倾角 $\beta$ 加上90度。计算 OP 与阳光 的角度 $\theta$ 是一个相当直接的几何问题。坐标设置如下图中的 XYZ 与 X'Y'Z'。


earth-sun.png


上图中,设P点的纬度为 L,P在XY平面上的投影为 P', OP' 与 -Y 轴角度为 d 。考虑地球在自转的同时还在公转。我们希望得到的是一个含时间的方程,同时考虑自转与公转。在XYZ坐标系中,OP的方向为 $(\cos L \sin d, -\cos L\cos d, \sin L)$。而在X'Y'Z'坐标系中,AO'方向为 $(\sin\phi, -\cos\phi, 0)$。要计算两者的角度需要找出两个坐标之间变换关系。这是一个角度为 $\beta$的转动。我们有


$\hat{x} = \hat{x^\prime}\\ \hat{y}=\cos\beta \ \hat{y^\prime} +\sin\beta \ \hat{z^\prime}\\ \hat{z} = -\sin\beta \ \ \hat{y^\prime} +  \cos\beta \ \hat{z^\prime}$


代入计算OP 与 O'A 之间的角度,也就是阳光与垂直于地面的标杆的角度,我们得到


$\cos\theta = [\cos d \ \cos L \cos\beta + \sin L \sin\beta] \cos\phi + \sin\phi \sin d \cos L$


现在我们计算阳光与地面正南方向的夹角$\alpha$。XYZ 坐标中P处正南方向为 $(\sin L \sin d, -\sin L \cos d, -\cos L)$。进行坐标变换之后计算与阳光方向的余弦 ,我们得到


$\cos \alpha = \left[\cos\beta \sin L \cos d- \sin\beta \cos L\right] \cos\phi + \cos L \sin d \sin\phi$


太阳升起、落下的时候,阳光与垂直标杆垂直,因此 $\cos\theta =0$。所以,日出、日落时


$[\cos d \ \cos L \cos\beta + \sin L \sin\beta] \cos\phi + \sin\phi \sin d \cos L=0$


设地球自转角速度为 $\omega$, 公转角速度为 $\Omega$, t 为时间,则 $d = \omega \ t $, $\phi=\Omega \ t$。


因此太阳与直立标尺的角度 $\theta$ 的方程为


$\cos\theta = \left[ \sin L \sin\beta + \cos L \cos\beta \ \cos (\omega \ t)  \right]\ \cos (\Omega\ t) + \cos L \sin (\omega\ t) \sin(\Omega\ t)   $


至此,我们得到计算日出、日落时间的方程是:


$\left[ \sin L \sin\beta + \cos L \cos\beta \ \cos (\omega \ t)  \right]\ \cos (\Omega\ t) + \cos L \sin (\omega\ t) \sin(\Omega\ t)    =0$


或者:


$ \frac{ \sin L \sin\beta + \cos L \cos\beta \ \cos (\omega \ t)}{\cos L \sin (\omega\ t)}=-\tan\Omega t $


从上面的方程计算出日出时间,并代入阳光与正南方向夹角的公式


$\cos \alpha = \left[\cos\beta \sin L \cos (\omega t)- \sin\beta \cos L\right] \cos (\Omega t) + \cos L \sin (\omega t) \sin (\Omega t) $


即可算出太阳升起时阳光的角度。代入实际数据,倾角 \beta = 23.44 度,计算出冬至日北京(纬度取北纬40度)太阳升起阳光与正南方向的角度为121.27 度。夏至日太阳升起时角度 为58.7度。陶寺纬度为35.88度,算出冬至太阳升起角度为119.4度。如果考虑折射,这个角度将略有不同。另外,地球自转倾角以两万六千年为周期变化,因此4700年前倾角与现在也有不可忽略的差异。


附:Python 代码

http://www.zhenzhubay.com/home.php?mod=space&uid=2&do=blog&id=36911



http://blog.sciencenet.cn/blog-684007-1123989.html

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1 姬扬

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