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水滴砸人的科学思维

已有 4706 次阅读 2017-8-5 08:24 |个人分类:物理|系统分类:教学心得

寓言故事说【有人问一滴水从很高的地方掉下来会不会砸伤人,大家开始了计算、分析。突然有人问到,你们没有淋过雨吗?】。这个故事说明了两种思维,一种是基于基本原理的科学思维,另一种是狭窄的经验。猴子都知道淋雨不会砸伤猴子,但猴子都有的淋雨经验如果不进行理性的升华将停留在猿的阶段。牛经常看见苹果从树上掉下,牛顿却从苹果得出万有引力计算出行星的轨道。


知道计算分析一滴雨的问题,就会计算一桶水银从10层高楼倒下的后果,也能计算出高压水枪的威力随压强的变化,人从飞机上掉下来最终有多快,等等。而这个计算不过是牛顿第二定律, F = ma 。让我略作演示。

假设一轴向对称物体横截面积为A,以速度 v 在空气中运行,空气经过该物体后方向角度改变为$\theta$,那么在时间 t 内,空气动量改变为 (为什么?) $d_a A v t  v (1-\cos\theta) $,因此物体所受空气阻力为 $ f_a = d_a A v^2 (1-\cos\theta) $ ;$d_a$为空气的密度。


可见,物体受到的阻力与其速度平方成正比。当一物体从高处落下,在重力作用下不断加速,重力不变,但是阻力却按速度平方增长;当阻力与重力相等,速度就达到极限,不能再增长了。要算出这个终极速度都不需要解动力学方程 F = ma,只需要力的平衡。这个条件是 重力=阻力,换言之:

$mg = d_a A v^2 (1-\cos\theta)$,

解出 v ,我们有

$v_{max} =\sqrt{\frac{mg}{d_a A (1-\cos\theta)}}$。

我们假设物体的密度为 $d_o$,形状近似为一个长度为 L的柱状,因此 $m = d_o A L$, 代入上面的公式,我们有

$v_{max} =\sqrt{\frac{d_o A L g}{d_a A (1-\cos\theta)}} = \sqrt{\frac{d_o  Lg }{d_a  (1-\cos\theta)}}$

以上公式适用于任何物体的下落。即使不代入数字进行计算,我们也立刻发现它解答了很多问题,比如

1) 为什么铁球下落速度大于羽毛  -- 因为铁球比重大;

2)为什么人横着掉下来最终速度小于竖着掉下来 -- 因为横着在运动方向长度短。

下面,我们运用推导出的公式进行一系列运用。

1. 雨滴速度

我们可以代入雨滴数据进行计算,水的比重约为空气的780倍,雨滴长度约 2 毫米,g=9.8 m/s^2, \theta 设为 30度。我们算出, v_max = $\sqrt {780* 0.002*9.8/(1-\cos\frac{\pi}{6})}$=10.7 m/s 。也就是说这么大的雨滴终极速度为每秒 10 米多,跟人百米冲刺的速度差不多。

这么快的雨滴能伤到人吗?这是另一个从牛二的第一原理的计算的问题。就留给大家做练习了。

2. 维持云层高度需要的上升气流速度

根据这个网页,云雾中水珠的直径约为10微米。代入上面的公式,我们算出 $v_{max} = \sqrt {780* 10*10^{-6} * 9.8/(1-\cos\frac{\pi}{6})} \approx 0.7$ (m/s)。因此上升气流需要每秒约0.7米的速度才能维持云层高度。但请注意,这里使用的水/空气密度比是海平面的数据,如果云层高而空气密度减小不能忽略,则必须使用高空的空气密度。

3. 人下坠速度

考虑人横着往下掉的情况,L等于人的厚度,以20厘米计算,且考虑人形状非流线而令 \theta 为60度,我们有$v_{max} = \sqrt {780* 0.2*9.8/(1-\cos\frac{\pi}{3})} \approx 55 $ (m/s),约每小时200公里,相当于在德国飙车的速度。如果是头朝下坠落, L约为两米,但考虑头比较圆,令\theta 为45度, 我们算出 $v_{max} = \sqrt {780* 2*9.8/(1-\cos\frac{\pi}{4})} \approx 230 $ (m/s),这相当于亚音速喷气机速度。

从这个问题也看出,很多场合我们的知识够用了,不要那些高深的。有的农民没读过书都能造机器人。只要你能够把学到的知识举一反三,走路问题、上台阶、空气中下落问题都不过是 F=ma 的运用。什么叫硬科学? 像这样跟你一五一十,一步一步算得清清楚楚,你可以去实验验证。


不懂科学的猴子是永远不可能发明下面的机器的:






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