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就刻舟求鱼问题与应行仁等老师探讨
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这篇《刻舟求鱼 (配图） 》出乎意料地引发了强烈 兴趣。问题是假定船受到的阻力与船的速度成正比 （f = -kv），船上的人从船尾跳到船头，船最终处于何处。我的证明如下。
人+船的动量变化等于外力的冲量，由于忽略了空气阻力，唯一的外力是水对船的阻力。
$\Delta p = -k \ v \ \Delta t = -k \ \Delta x" original="http://latex.codecogs.com/gif.latex?\Delta p = -k \ v \ \Delta t = -k \ \Delta x" style="word-wrap:break-word;max-width:620px;margin:0px;padding:0px;display:inline;$ 因此， $\Delta x = - \Delta p/k" original="http://latex.codecogs.com/gif.latex?\Delta x = - \Delta p/k" style="word-wrap:break-word;max-width:620px;margin:0px;padding:0px;display:inline;$
由于船+人最开始动量为零（静止），最终也是静止，动量也为零。动量变化为0，因此船的位移为零。
应行仁老师评论到：
【在岳的公式中，他说“由于船+人最开始动量为零（静止），最终也是静止，动量也为零。动量变化为0”， 这是指起跳前和落地后Δp =0，所以x是人船系统的质心。不是船的位置。如果有人用这公式考察人跳船后移和落船前行的动量，是否从动量相等得出船的两个位移相等？不能。细考如下，Δp1是船后移的动量，那Δx1 =- Δp1/k 是船后移的距离，人落到船上后，Δx2 =- Δp2/k ，虽然Δp1=Δp2，但是这时，Δx2是人与船的质心，所以虽然Δx1=Δx2，它们所指的位置不同，船的位置仍然不是到原位。】
我的回应如下：
上面计算中的 p 为人+船系统的总动量。根据牛顿定律，一个系统的动量的变化等于系统所受外力的冲量，这是因为内力产生的动量变化是互相抵消的。在这里，人+船为系统，由于忽略空气阻力，外力就是水对船的阻力 f 。
$dp = f \ dt$
注意，符号 p 代表的是人的动量+船的动量。到这一步应该没有疑问。
接下来我们代入 f 。它是船受到的阻力，等于一个常数乘以船的速度 $-k \ v_{b}$ 。
$v_{b}= \frac{d x_b}{dt}$
上面 x_b 是船的位置坐标。这一点应该没有问题。
因此，
$dp = -k \ \frac{d x_b}{dt} \ dt = -k \ dx_b$
两边积分，
$\Delta p = -k \ \Delta x_b$
从上面这个推导可以看出，左边是系统（人+船）总动量的变化，右边是船的位置变化（而不是系统质心位置的变化）。
黄兴滨博主说【一个简单的反例即可说明该方法的错误，如果人直接跳进水中，按博主的方法显然也有“人船系统初始与最终动量为零，动量变化为零，因此船的位置变化 Delta x 为零”的荒谬结论。】
这是不成立的。在我们上面的计算中只有水对船的阻力，水对人没有任何作用。如果人跳入水中，那么必须考虑水对人的作用。方程右边必须加上水对人的冲量。
12/22 补充：水的阻力与速度 关系，我今天翻出了 Landau & Lifshitz 第六卷。
朗道的物理是不错的。
https://blog.sciencenet.cn/blog-684007-1021764.html
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