彭罗斯循环宇宙^【1】的思想不同于佛教就个体生命而言的转世“轮回”，倒有点像尼采的宇宙“永恒轮回”。但无论如何，为避免混淆，我们将它翻译成循环宇宙说，不叫轮回。

彭罗斯共形循环宇宙（CCC）模型的数学基础是共形映射，也叫保角变换。“保角”一词反映了变换的几何意义，即保持了两条光滑曲线之间的角度以及无穷小结构的形状不变，但不保持它们的尺寸。如图1a所示的两个共形映射，保持曲线间的夹角为直角，因而，图中所示的小矩形在变换后仍然映射成矩形但每个矩形的尺度变化了。保角变换是数学物理中一种常用的方法，如果物理定律在变换下保持不变，比如电磁场方程，就可以利用保角变换将复杂的边界条件变换成简单形状的边界条件，以方便求解。解出后再变回原来的空间。

图1：共形映射应用于循环宇宙模型

在彭罗斯的CCC理论中，利用与图1a下图类似的变换，将宇宙“大爆炸+膨胀”的双曲面（类似）时空结构，映射成貌似柱面的形状。也就是说，在大爆炸的时间点，原来密集缩小的空间被变换拉伸了；而对未来而言，变换可以将无限扩张的空间限制在有限的范围内。

然后，彭罗斯进一步设想，这种变换后看起来像“柱面”的时空结构可以一个一个地首尾相连，接成一长串平滑过渡的时空流形，并一直延续下去。或者说，如果把我们现在的宇宙（从大爆炸到未来）看着一个“世代”的话，便有无穷多个这样类似的“世代”接在一起。这样的宇宙模型可以回答人们关于宇宙“过去未来”的问题。比如说“大爆炸之前是什么？”，答案是“上一个世代的结束”。而宇宙的未来呢，则将会诱发下一个大爆炸，并进入一个新的世代。彭罗斯的模型，看起来的确是将大爆炸宇宙赋予了一个世代交替、永恒循环的似稳态图景，如图1b所示。

然而，原始的粗糙构想并非天衣无缝，而是四处窟窿。物理的、数学的问题，需要一个一个地逐步解决，以求自圆其说。

彭罗斯对广义相对论解的“奇点”问题一直颇有研究。与时空曲率相关的奇点有两种：一是大爆炸类的时间奇点（t=0），另一种是黑洞类的空间奇点（r=0）。黑洞不是裸奇点，因为它有视界包围着，大爆炸则是裸奇点。大爆炸类型的奇点呈现的是时间的开始，黑洞是空间奇点，但在黑洞的视界以内，时间概念失去了它原有的意义，因此，对掉入了视界之内的物质而言，可以将黑洞奇点视为是时间的终结。或者说，黑洞奇点在某种意义上，是大爆炸奇点的时间反演。既然是反演，彭罗斯想，也许可以将它们作为一个“世代”的结束？

从我们目前接受的大爆炸宇宙模型想象一下宇宙的未来：宇宙正在膨胀，宇宙正在加速膨胀，后果是什么呢？每一个星系将越来越远离，成为一个个互相遥不可及的“宇宙孤岛”。另一方面，引力使得恒星和星系不断塌缩，形成越来越多、越来越大的恒星黑洞和超级黑洞。比如目前，仅在银河系的范围内，除了发现了许多恒星黑洞的候选者之外，科学家们在2008年最终证实，银河系中心本身，就是一个质量约为太阳400万倍的超大黑洞。黑洞与黑洞有可能合并产生更大的黑洞，但从来不会分裂成更小的黑洞。

广义相对论所预言的经典黑洞是“只进不出”的，且结构简单，符合惠勒所说的“黑洞无毛定理”。意思是说黑洞只需要很少的几个参数来描述它。无论什么样形状和物质成分的天体，一旦塌缩成为黑洞，它就只剩下电荷、质量和角动量这三个最基本的性质，再无其它。后来，惠勒的一个学生贝肯斯坦在惠勒的支持下建立了黑洞熵的概念。既然黑洞具有熵，那它也应该具有温度，如果有温度，，就会产生热辐射。受这个思想的启发，霍金与1974年提出了著名的霍金辐射^【2】。霍金辐射产生的物理机制是黑洞视界周围时空中的真空量子涨落。根据量子力学原理，在黑洞事件边界附近，量子涨落效应必然会产生出许多虚粒子对。这些粒子反粒子对中的一个掉进黑洞，再也出不来，而另一个则飞离黑洞到远处，形成霍金辐射。逃离黑洞引力的粒子将带走一部分质量，从而造成黑洞质量不断损失。霍金辐射的温度很低，与黑洞质量成反比，一个质量等于10倍太阳质量的黑洞，温度只有6×10^-9K。目前宇宙微波背景辐射的温度大约是2.725K，但这个温度会逐步下降，越来越低。最后，如果黑洞的霍金辐射温度比CMB温度更高的话，黑洞便将向周围辐射能量直至“蒸发”消失。

霍金后来修正了他的黑洞辐射理论，但彭罗斯更赞同霍金的原始想法，并将其应用在他的CCC模型中。根据彭罗斯描述的每一个世代膨胀宇宙的未来：大大小小的黑洞像幽灵一样，游走在空旷而毫无生气的宇宙中，时而互相碰撞合并，时而“呯”地突然消失，这是一个异常乏味并将延续到“永恒”的宇宙，时间漫长到可能要经过10¹⁰⁰年。不过，这10¹⁰⁰年的时间靠谁来计算呢？那时候，没有星系，没有你我，没有任何观测者（也许有暗能量和暗物质波？），很可能只剩下无质量的粒子，而无质量的粒子只能沿着光锥的表面运动，也就是说，它们的固有时永远为0，无法充当“时钟”的角色，对它们（光子）来说，永恒和一刹那是一样的。如果那时候的世界中只有光子这种无质量粒子的话，那么，那整个世界的永恒和一刹那也是等同的。

图2：将无限映射到有限

如上所述，彭罗斯的CCC利用共形映射来连接差距极大的标准宇宙模型的“起点”和“终点”，即广义相对论解中的两类不同奇点：大爆炸和黑洞。在这儿起始奇点是整体的，只有一个；黑洞奇点却是局部的，有很多个。CCC理论认为，应用共形映射的尺度变换，一方面可以将物质密度和温度极高（趋于无限），体积极小的宇宙初始状态变换成密度、温度、体积都有限的时空。另一方面，也能将未来无限膨胀的宇宙时空变换成尺寸有限的范围。如此一来，一个世代的起点就可以由上一个世代的终点平滑过渡而来，世代的未来又再平滑过渡到下一个世代的起点。无限大或无限小都可以映射成有限，类似于图2a所示的庞加莱的共形圆盘模型，利用双曲共形变换，可将无限的双曲面映射到一个有限的圆形区域中。图2b是彭罗斯早期发明的彭罗斯图（也称共形图），将无限大的时空映射到有限范围内以方便研究时空的因果关系。彭罗斯在CCC理论中使用的度规的共形映射，是对时空度规的“重新度量”：

g_mn = W² g_mn，

这儿W是定义在时空每一点的正实数函数，称为尺度变化因子。可以适当地选择平滑的尺度因子函数，使得在时空趋向无限大的时候， W趋近于0；而在大爆炸奇点附近，尺度变化因子W趋近无穷，这样便将世代从起点到终点映射成了一个平滑而有限的时空。

除了几何结构上需要平滑过渡之外，物理规律也需要在共形变换下保持不变。麦克斯韦方程是共形不变的，因为它描述的是静止质量为零的光子。但一般来说，爱因斯坦（引力场）方程不是。只有当没有物质、没有能量的真空中，引力场方程才是共形不变的。这儿便需要使用外尔曲率张量，外尔张量在度规的共形变换下不变。

在爱因斯坦的引力场方程中，使用的是里奇曲率张量和里奇标量曲率。有关黎曼流形的曲率和引力场方程，请参考笔者在科学网的另外两篇博文：

有关黎曼曲率：http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=677221&do=blog&quickforward=1&id=834151

有关引力场方程：http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=677221&do=blog&id=843310

这儿说明一下外尔曲率。如笔者上面链接给出的第一篇博文中所述，四维的伪黎曼曲率张量是描述四维时空弯曲情形的标准形式。黎曼曲率是4阶张量，因而有4⁴=256个分量，但考虑对称性和恒等式，独立分量只有20个。在引力场方程中出现的里奇曲率张量只有10个独立分量，因而，它并未完整地描述时空的弯曲性，其余的10个自由度由外尔曲率张量的10个独立分量来描述。从下面的公式中可知，黎曼曲率可以分解成外尔曲率加上与里奇曲率相关的两个部分。

 里奇曲率张量出现在引力场方程中，因此，它描述的是直接与物质分布（能量-动量张量）密切有关的时空弯曲。外尔曲率并未出现在引力场方程中，它是黎曼曲率张量中共形不变的部分，外尔曲率张量的迹为零（收缩任何两个指标）。因此，爱因斯坦方程只有在没有能量-动量张量的真空中才能保持共形不变。

引力场方程中为什么没有外尔曲率？爱因斯坦是不是考虑不周到？不是这么回事儿。从爱因斯坦引力场方程解出来的是度规张量场g。从度规张量以及它的1阶和2阶导数，可以计算黎曼曲率张量以及里奇张量和外尔张量。这点也可以与电磁场类比，我们从麦克斯韦方程（势场表述）解出电磁势A，然后再计算电磁张量求出电场E和磁场B。度规张量场就是类比于电磁势的“引力势”场。但引力场方程有一点特殊性是别的任何动力学方程都无法类比的，那就是：它是别的动力学方程用以建造方程的“时空舞台”（即度规场）本身的动力学方程，这一点造成了爱因斯坦方程的复杂性。

麦克斯韦方程组的4个方程中只有两个是与“源”有关系的，如果空间中没有电磁源（电荷或电流），方程描述的是自由空间的电磁场，即电磁波。引力场方程也类似，如果没有能量-动量张量，得到里奇张量为零。这种时空称为“里奇平坦”时空，但并不等于“黎曼平坦”。完整的黎曼平坦还得包括局部共形平坦，即外尔曲率张量为零。因此一般认为，里奇曲率描述存在潮汐力情况下物体的体积变化，外尔曲率描述沿测地线运动物体受到的“潮汐力”，以及在自由空间中引力辐射的传播。

彭罗斯再进一步提出了外尔曲率假设（猜想），给时空的外尔曲率赋予了某种物理意义，认为从它可以计算引力场的熵。彭罗斯认为，大爆炸类型的奇点和黑洞类型奇点，虽然看起来像是时间上互为反演，但实质上它们附近的几何性质有很大的不同。黑洞解，比如史瓦西解，描述的是球对称质量外面空间中的引力场，是能量-动量张量为零的真空中的解，所以里奇曲率为0，但当物体穿过黑洞的视界掉到奇点附近时，将会感受到趋于无穷大的潮汐力。因而，黑洞奇点附近的外尔曲率趋于无穷大。反之，在大爆炸奇点附近，则没有潮汐力，表明外尔曲率等于0，里奇曲率趋向无穷。彭罗斯根据外尔曲率从大爆炸时的0，增大到黑洞附近的无穷大，猜想可能可以用外尔曲率来表征引力场的熵。之后，他以及其他科学家，构造了一个引力场的熵函数，正比于外尔张量平方的时空积分^【3，4】。

彭罗斯认为，考虑了引力熵之后，他的CCC理论中宇宙的演化过程便毫无疑问地遵循热力学第二定律。大爆炸开始时，宇宙处于低熵状态，之后，熵增加，到宇宙的“永恒”终态，熵达到极大值，趋向无穷。黑洞蒸发消失的过程从宇宙中移除熵，永恒时，熵被清零，下一个大爆炸开始。（熵如何被清零？这点没有看到他的详细说明。）

彭罗斯CCC宇宙模型的关键是使用共形映射连接宇宙的初态和终态，但需要建立在宇宙的初态和终态都是共形不变的假设上。这要求那时的宇宙中不存在有静止质量的物质。彭罗斯对此有一些解释，但使人觉得比较牵强。

近二十来年的天文观测资料为物理宇宙学提供了宝贵的数据，以至于像彭罗斯这样的纯粹理论物理学家也企图从实验数据中寻找他的CCC理论的证据。几年前，他曾经宣称在WMAP的CMB数据中显示出的同心圆是由于大爆炸之前的上一个“世代”的宇宙中的黑洞产生的，但这点没有得到实验分析专家们的认可，他们认为那是一种随机的效应。

尽管彭罗斯的CCC模型尚不完善，也难以有实验证据的支持，但毕竟提供了一些有价值的思路，并且，人们由此而进行的有关共形几何、引力熵等数学物理概念的探讨，也是研究者们可以借鉴的。

参考文献：

【1】RogerPenrose，Cyclesof Time: An Extraordinary New View of the Universe，Knopf ，USA，2011，

有李泳翻译的中文版，可在网上搜索查询购买（见李泳的博客）。

【2】Hawking, S. W. "Black holeexplosions?" [J]. Nature 248 (5443): 30–31. 1974.

【3】R.Penrose, in S. W. Hawking and W. Israel, eds., Ref. 1. and in Quantum Grauity2: A Second Oxford Symposium, eds. C. J. Isham, R. Penrose, and D. W. Sciama(Clarendon Press, Oxford 1982).

【4】 B. L.Hu, Phys. Lett. m, 368 (1983).

（宇宙学博文系列完）