31.拓扑绝缘体（续）（系列完结篇）

上节中介绍的石墨烯，由于它独特的物理性质而引起了人们的兴趣。它的无质量的相对论性准粒子，被观察到的整数及分数量子霍尔效应，为基础物理研究的许多方面，提供了理论模型和实验依据。它优异的电子输运性质，又使其在自旋电子学等工程领域可能得到广泛的实际应用。

图31.1列出了石墨烯及量子霍尔态等几种物态在费米能级附近的能带图。

从图31.1中的（a）和（b），我们可以看到双层和单层碳原子结构能带形状的不同。前者是抛物线型接触，而后者是线性的。（必须提醒注意的是，我们所说的这两种石墨烯能带图都是指在二维空间中能无限延伸的理想晶体之能带图。）

那么，量子霍尔态的能带形状又如何呢？

图31.1：两种石墨烯及量子霍尔态等能带图之比较

图31.1c是量子霍尔态的能带示意图。它的导带及价带在费米能级附近的形状，接近抛物线，类似于普通绝缘体。但是，我们在上一节中也说过，量子霍尔态体内虽然是绝缘体，但它们由于边缘态的存在而导电。在图中，量子霍尔态的边缘态是一条连接导带和价带的直线。因此，量子霍尔态在低能态附近的行为，和石墨烯相仿，能量和动量的关系也是线性的，也存在无质量的相对论性准粒子。

因为量子霍尔态的实现需要强大的外磁场，由此人们将兴趣转向不需要磁场的量子自旋霍尔效应，并且在实验室里已经多次观察到了此种现象。对量子自旋霍尔态而言，不同的自旋有不同的边界态，因此，在图31.1d所示的自旋霍尔态能带图中，有两条直线连接导带和价带，它们分别对应于自旋上和自旋下的边缘电流。这种情形下的能带图，看起来与理想石墨烯的能带图更为类似了。

普通的绝缘体，也可能产生边缘态而形成边缘导电，但却和前面两种情形下的边缘态有本质的区别。图31.1e画出了普通绝缘体的能带。图中的边缘态曲线与费米能级相交，意味着在此绝缘体中可以存在边缘电流。

再仔细对照一下c、d、e三个图边界态的异同点便不难发现，即使从这三个简单图中，也可以看出一点刚才所谓的“本质区别”来：普通绝缘体的那个边缘态的导电性是不稳定的：系统的缓慢连续变化可以使导电性增加或消失。比如说，在缓慢变化下，这个边缘态可以降低到与价带相交而增加导电性，但也可能渐渐升高而脱离费米能级线，最后被归类到导带中，而使得边缘失去导电性。但是，图c和图d所示两种量子效应下的边缘态，却是一条直线，直通通的从上到下，将导带和价带绑到一起，这个连接方式不会因为系统的缓慢连续变化而改变。或者说，图c或d，与e的不同之处，可以用一句话概括：边缘态的拓扑结构不同。图e所示边缘态的拓扑结构是平庸的，而图c或d的边缘态则非平庸，其导电性能受其拓扑性质所保护，这一类的量子物态，便被称为“拓扑绝缘体”，以区别于平庸的普通绝缘体。真空属于普通绝缘体。

前面的叙述中，为什么总是要加上一句“系统缓慢连续变化”呢？这句话的意思，在数学上是为了保证系统的拓扑性质不变，在物理上则是保证系统不发生量子相变。比如说：一坨类似球形的面团，如果被你缓慢连续地揉来揉去，仍然是类球形的一坨面。但如果你把它从中间挖了一个洞，那就不是保持拓扑性质不变的“缓慢连续”变化，而是“相变”了。

刚才是用简单的图像来说明拓扑绝缘体与普通绝缘体的基本不同点。现在让我们在这条路上走得更远一些。其实，图c、d、e中边界态的拓扑性质只是表面现象，并不足以解释拓扑绝缘体的本质，边界态表现不同的更深层原因，是由于体材料能带拓扑的不同。

当两个拓扑特征不同的绝缘体放在一起，就会产生导电的边界态。界面变成金属性，才能实现两种拓扑特征的连续变化。

既然是用拓扑性质来区分量子态，那么，便需要找一个拓扑不变量来表征不同的态。这个拓扑不变量通常对应于参数空间中不可积的贝里相位，贝里积分是在体材料的动量空间中进行，与边缘态无关。由此再次证明，是体材料的能带拓扑结构决定了边缘态的拓扑结构，从而才又决定了拓扑绝缘体的那种“被拓扑保护、不受杂质和缺陷干扰”的边缘导电性。

对整数量子霍尔态而言，这个拓扑不变量就是在动量空间计算出来的“第一陈数”，它同时也等于与经典朗道能级有关的填充因子n。朗道能级是由外磁场而产生的，所以，正如我们从描述整数量子霍尔效应的电阻平台示意图所见，实验中观察到的n与外磁场强度有关。但是，在量子自旋霍尔效应中，外磁场强度等于0。也就是说，量子自旋霍尔效应的n值只能为0，换言之，不能再用第一陈数来表征量子自旋霍尔态了。

那么，有什么其它的不变量，能用来表征量子自旋霍尔态呢？

量子自旋霍尔态的特点是不存在外加磁场，因而，在一定的条件下可以具有时间反演对称性。“时间反演”，什么意思？顾名思义嘛，那就是将时间的流逝方向反过来。当然，真实的世界中时间是不会倒流的，但是电影技术为我们提供了一个用想象来检验时间反演特性的最佳场所。如果将一个个的电影画面反过来放，就能模拟时间反演的过程。从倒放的电影中我们会发现：有些东西（物理量）是正放反放不变的，而有些是改变的。比如说，我们考虑电磁场中的运动电子所涉及的几个物理量：位置将不受时光倒流的影响，但速度要反向；电子的电荷是时间反演不变的，但因为速度反过来了，所以电流要反向；电场强度E是时间反演不变的，而磁场B要反向。磁场反向的原因是因为磁场是由电流产生的，时间倒过来时，电流反向了，因而磁场也反向了。

由上可知，磁场不是时间反演不变的。量子自旋霍尔态没有磁场，因而便有可能保持系统的时间反演对称性。或许可以利用这点来找出表征量子自旋霍尔态的守恒量？

相关于时间反演不变性，Kane and Mele提出用Z2不变量来区别拓扑绝缘体和普通绝缘体^【1】（Z2是指有两个元素的循环群）。在他们的模型中，将自旋霍尔态看成两个（自旋上和自旋下）边缘电流方向相反的整数霍尔态的合成，见图31.2。

图31.2：自旋下的IQHE加自旋上的IQHE等于QSH

两个整数量子霍尔态相加，外磁场互相抵消了，剩下两个方向相反的自旋流，表现为量子自旋霍尔态。这两个IQHE，可以分别用自旋陈数n^上（自旋上）和n^下（自旋下）来表征。Kane等人证明，时间反演对称性要求：n^上 + n^下 = 0，所以，总陈数为零。但是，

n^S = （n^上 - n^下）/2

不会等于0。并且，他们还证明，可以用n^S的奇偶性来描述合成量子态的非平庸性：当n^S为奇数时，系统是非平庸的拓扑绝缘体；当n^S为偶数时，系统是平庸的普通绝缘体。

因此，类似于IQHE中的陈数n，定义一个Z2拓扑不变量 n = n^S mod（2）。不变量 n便可以用来表征二维拓扑绝缘体。这个概念还可以扩展到三维的拓扑绝缘体，即用4个Z2不变量来表征三维拓扑绝缘体^【2】。

与文小刚提出的属于长程整体纠缠的拓扑序概念不同^【3】，拓扑绝缘体和量子自旋霍尔态是属于更局域的短程量子纠缠态。它们也可以看作是被某种对称性所保护的拓扑序的例子：拓扑绝缘体被电荷守恒和时间反演所保护；而量子自旋霍尔态则被电荷守恒和z方向自旋守恒所保护^【4】。

前面讨论的量子自旋霍尔态，是假设材料中两种自旋的密度在费米能级附近是相等的。反之，如果某一个方向的自旋被抑制，比如说，在某种材料中掺入某种铁磁性杂质，这样，就将破坏时间反演对称性，并有可能得到另外一种也不需要强大外加磁场的量子物态：量子反常霍尔效应。

刚才几句话说起来容易，实现起来却是非常困难。中国科学院院士薛其坤带领的团队，2013年在世界上首次发现了量子反常霍尔效应。对此我们不再作更多的介绍，请见参考资料^【5】。

拓扑绝缘体及各种量子物态拓扑分类的理论中，仍有许多尚待解决的问题。这其中涉及的概念，既关联到基础物理思想，也包括不同领域的数学理论。总之，大门已经敞开，理论还需完善，精度日益提高的实验技术，也将供给我们越来越精确的数据。随着越来越多的不同量子态被研究、被发现，物理学必将继续造福文明社会。

参考资料：

【1】C. L. Kane and E. J. Mele，Z2Topological Order and the Quantum Spin Hall Effect，Phys.Rev. Lett. 95, 146802 (2005)。

【2】余睿、方忠、戴希，Z2拓扑不变量与拓扑绝缘体，《物理》2011年第7期 462-468页

【3】Topological order from wiki:

http://en.wikipedia.org/wiki/Topological_order

【4】Quantum spin Hall state from wiki:

http://en.wikipedia.org/wiki/Quantum_spin_Hall_effect

【5】Chang C Z, Zhang J, Feng X, etal. Experimental Observation of the Quantum Anomalous Hall Effect in a MagneticTopological Insulator [J]. Science, 2013.

（全文完）

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