28. AB效应和贝里几何相

1982年，美国华盛顿大学物理学家索利斯（D.J.Thouless）等人，为了直接表征量子化霍尔电导的填充因子n，引入了一个称为TKNN的拓扑数，并由此而对电子波函数的拓扑性质进行分类^【1】。这是第一次将数学上的拓扑概念应用于与‘相’有关的凝聚态理论中。

拓扑概念如何与量子态关联起来了呢？这还得从近几年物理中的一个新进展，称之为‘贝里相位’的概念说起。贝里相位又与AB效应密切相关。

所以，有必要首先简略介绍下什么是AB效应。

量子力学中有一个著名的杨氏双缝电子干涉实验^【2】。在杨氏双缝实验中，电子通过两条狭缝后，在荧光屏上出现干涉条纹，从而证实了电子的波动性。如今我们不详谈这个实验本身，而是将它借来解释AB效应。

如图28.1a所示，电子波同时穿过两个狭缝后，从A点发出的子波和从B点发出的子波，假设它们到达屏幕上的C点时互相干涉而加强，便会在C点形成一个亮点。整个波的总效应则是在屏幕上出现明暗相间的条纹。然后，我们设想，如果将实验稍微改变一下，成为如图b所示：在两个狭缝间靠近狭缝处，插入一个非常细无限长的通电螺线管。这时候，实验结果会发生变化吗？

图28.1：磁AB效应

首先我们从经典电磁场理论的观点来分析这个问题。在理想情况下，因为通电螺线管是无限长的，图中所示方向的电流将会在线圈之内产生一个从下往上的磁场。但是，紧密缠绕的螺线管将磁场完全包在了它的内部，线圈之外的磁场将处处为0。电子不会进到线圈以内，所以，经典理论认为，电子应该感知不到磁场的存在。当然，实际上，如果将电子看作是不具有波动性的经典粒子的话，屏幕上不会出现明暗相间的干涉条纹，而是按照经典几率的分布图像而已^【2】。总而言之，根据经典电磁理论，放（或不放）这个通电螺线管，对电子的实验结果不会产生任何影响。

不过，如果用量子理论来计算，却会预期一个不同的结果，这便是1959年英国两位理论物理学家阿哈罗诺夫（Aharonov）和波姆（Bohm）所作的工作^【3】。他们认为，通电螺线管的存在会使原来的干涉条纹产生移动，像图28.1c所显示的那样。如果通过螺线管的电流反向，干涉图像移动的方向也会反向。

在阿哈罗诺夫和波姆的文章中，他们不仅进行了理论计算，还详细设计了验证的实验。之后的近30年内，有许多人进行了与此相关的实验，得到A和B预期的结果。但是，物理学家们却总是对此理论及实验结果争论不休，一直到了1986年，日立公司的科学家Tonomura等人的实验^【4】，才终于得到了学术界的最后认可。至今，又过去了二十多年，AB效应已被物理学界完全肯定,并写入了教科书, 成为量子力学教材中不可缺少的基本概念。

阿哈罗诺夫-波姆效应之所以引起重视，是因为它证明了在量子理论中电磁势（包括矢量A及标量势r）的重要性，以及与其相关的电子波函数的相位的重要性。

经典的麦克斯韦方程是定域性质的微分方程。这种定域的描述方式是很容易得到公认的，如此描述的物质间的相互作用是由场传递的接触作用。它克服了‘超距作用’的困难，将带电粒子运动状况的变化归结为每一点的场对它逐点作用的结果。麦克斯韦方程表示电磁场有两种形式：可以用场强（电场E、磁场B）来描述，也可以用电磁势（三维矢量A、标量势r）来表示。但是，经典电磁理论认为，只有第一种方式使用的，空间中每一点的电磁场的强度，以及它使得运动电子经过该点时所受到的电磁力，才是基本的，才具有可观察的物理意义。而第二种方法中的电磁势（A、r），不过是为了计算方便而引入的数学概念，并不代表物理实质。以规范变换为例便能说明这一点：电场和磁场是规范不变的，而电磁势在不同的规范下则取不同的值，这是经典理论认为电磁势不是物理可观察量的理由。

什么样的量在物理学中是基本的，代表物理实质呢？举个简单例子让你更深入理解这点。

几万伏特的高压电线是很可怕的，但是，停在上面的鸟儿却仍然活蹦乱跳，丝毫感受不到危险，大家都知道这是为什么。那是因为我们是站在地面上，高压线的电压相对于地面的数值很高。尽管如此，但在鸟儿能接触到的局部小空间范围内，这个值却没有什么物理意义。鸟儿能感受到的、对它能表现物理效应的，是它两只脚两点间的电压差，而不是某点电压对地的绝对数值。

因此，对鸟儿来说，完全可以作一个电压的平移变换（V->V’），将电线上某点的电压值设为0。这样来研究问题，计算要简单些。因为有物理意义的电压差（V₁-V₂）是在平移变换中保持不变的，所以鸟儿感受到的物理效应在变换下将没有任何区别。电磁理论中的规范变换呢，与此有点类似，只不过那时需要将电场磁场统一考虑。换言之，需要将矢量势和标量势一块儿变换。也就是说，用（A、r），或者用另一组规范变换后的（A’、r’）,都表示同样的电磁场（B、E）。规范变换当然比鸟儿问题要复杂许多，但却同样也能起到简化计算，保持物理基本量不变的效果。

再回到实验中电子运动的问题。从经典电磁理论看，既然只有场强E和B才有物理效应，而在电子运动的路径上，线圈外所有点的电磁场场强（E和B）都为0，线圈对电子的运动当然不会有影响。

那么，AB效应又该如何解释呢？

从量子力学的观点看，电子具有波粒二象性，它的运动用波函数来描述，这是量子理论与经典理论的根本区别。任何波动，除了振幅之外，还有相位。图28.1a中屏幕上的干涉条纹，也就是从A和B经过两条路径的电子波之间的相位差而产生出来的。

图28.2：磁AB效应中通电线圈引起的相位因子f

现在，放了通电线圈之后，实验中观察到干涉图像产生了移动。那说明A路径和B路径之间的相位差发生了变化。没错，如果我们用量子力学的理论，分别在没线圈和有线圈的时候进行计算，的确发现通电线圈的存在，在两条路径中引入了一个额外的相位因子。就像图28.2中图a和图b的情况，相差了一个相位因子f。

你可能会说：“这不就解释了AB效应吗？条纹移动是由f产生的！”而正是这个f困惑着物理学家们，并为此争论许多年。为什么呢？因为算出来的这个相位因子，与电子经过路径上的电磁场强度无关，而是与他们原来认为不是物理实在的电磁势（A、r）有关的。实际上，它就等于矢量势A，沿着路径B到C，然后再从C返回B，绕线圈转一圈的环路积分。（在这儿，我们将靠得很近的A和B算作了同一个点B。）

那么，如果认可AB效应的实验结果，原来对电磁势的看法就要重新考虑。电磁势可能在某种意义上也代表了物理实在哦！换言之，仅仅用场强来描述电磁现象似乎还不够，得把电磁势加上去。但是，这儿又有问题了，刚才说了，电磁势不是根据规范的选取而变化的吗？选取不同的规范，可以使某些点的矢量势变成0，这样我们才能使运算简化嘛。那么，到底是该用（A、r），还是（A’、r’）呢？一个连数值都不能确定的量，又该如何谈到它的实在的物理意义呢？

想来想去、争来争去，真理总是越辩越明朗。尽管规范变换的确会使得某些点的矢量势变为0，但事实上，只要线圈中有电流，即使线圈外每点的场强都是0，却绝不可能使所有点的矢量势都变成0。此外，虽然每一点的矢量势是规范变化的，但仍然可能有一个与局部点的电场磁场无关，而只与路径上电磁势有关的某个东西是规范不变的。对啦，很可能就是那个矢量势的环路积分，也就是那个相因子f，它应该是规范不变的。

因此，AB效应又使得人们重视起相位这个东西。

接着，在1984年，物理学家们尚未完全认可AB效应之时，英国布里斯托尔大学跳出来一位叫迈克尔·贝里（SirMichael Victor Berry，1941-）的数学物理学家。贝里向物理学家们发出警告：一个量子体系随参数缓慢变化再回到原来状态时，可能会带来一个额外的相位因子。贝里认为这个相位因子不是由动力学产生的，而是由（某个）空间的几何性质而产生的，因此称之为几何相位^【5】。此外，贝里证明了这个相位因子是规范不变的，因而它很有可能具有可观察的、不可忽视的物理意义。贝里认为，AB效应便能用这个几何相位因子来解释。

借用网上一个比喻，贝里的意思是说，在倒掉洗澡水的时候要小心哦，里面可能有小孩！

贝里洗澡水中有小孩吗？且听下回分解。

参考资料：

【1】Quantized Hall Conductance in aTwo-Dimensional Periodic Potential，D. J. Thouless, M.Kohmoto*, M. P. Nightingale, and M. den Nijs，Phys. Rev.Lett. 49, 405–408 (1982)。

【2】作者科学网博文《走近量子纠缠》- 杨氏双缝电子干涉实验：

http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=677221&do=blog&id=534092

【3】Aharonov, Y.; Bohm D. (1959)."Significance of electromagnetic potentials in quantum theory". Phys.Rev. 115: 485-491.

【4】Osakabe, N., T. Matsuda, T. Kawasaki, J.Endo, A. Tonomura, S. Yano, and H. Yamada, "Experimental confirmation ofAharonov-Bohm effect using a toroidal magnetic field confined by asuperconductor." Phys Rev A. 34(2): 815-822 (1986).

【5】M. V. Berry (1984). "Quantal PhaseFactors Accompanying Adiabatic Changes". Proc. R. Soc. Lond. A 392 (1802):45–57.

【6】石墨烯中的贝里相位：Jiamin Xue, arXiv1309.6714 (2013).

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