（昨天发的出了点错误，今天重发）

27. 量子霍尔效应的解释(2)

如前一节所述，只有当费米能级移动到朗道子能带中间的红线附近时，二维系统才具有导电行为，而这种情况只发生在磁场变化的一段短暂期间。磁场变化的大多数时间内，费米能级碰到的都是灰色表示的局域态区间。

图27.1：（a）霍尔效应；（b）边沿电流的形成

将这种区分与图27.1a中量子霍尔效应的曲线对照一下便能看出，二维系统导电性能改变的区间对应于霍尔电阻的突然变化。在那段区间中，霍尔电阻从一个平台值很快地跳到另一个平台值，而纵向电阻也激烈地上升和下降。反之，在霍尔电阻曲线中的平坦区域，则对应于费米能级位置处于局域态的时候。因为那时，磁场B的变化只不过使得费米能级在局域态中移动，对导电机制没有任何影响，因而霍尔电阻保持不变。

局域态和扩展态共存的模型，只说明了磁场中的二维体系可以导电，但并未说明这个电流是如何形成的？在二维平面上是怎样分布的？图27.1b则类比于电子回旋运动的经典图像，说明二维平面电子系统中的电流，是由边沿电流形成的。

外磁场足够强时，位于平面中间的电子，大多数作回旋运动而处于局域态，只有边界上的电子，它们不能形成完整的回旋，却能绕过杂质和缺陷，最终朝一个方向前进，因而形成边界电流。

因此，量子霍尔效应让人们见识了一种“中间是绝缘体，边界可以导电”的全新量子态。

还有一个问题没有说明：IQHE中电阻平台所对应的那些整数n代表什么呢？

首先可以从图26.2b来理解这些整数的意义。如果我们从左边往右边看，并且注意一下费米能级之下朗道子能带的数目便不难发现：对应于n=1的平台，费米能级下面只有一个朗道子能带；对应于n=2的平台，费米能级下面有两个朗道子能带……推论下去，对应于n=j的平台，费米能级下面应该有j个朗道子能带。换言之，电阻平台上所表示的整数，等于被电子完全填充了的朗道子能带的数目，或称填充因子（filling factor）。

附带提一句：实验中得到的霍尔电阻平台的数值十分精确。从冯·克利青第一次得到的原始数据，平台精确度就达到10^-5，而后来更超过了10^-8。因此，从1990年1月1日起，国际计量委员会在世界范围内启用量子化霍尔电阻标准代替原来的电阻实物标准^【1】。

至此，我们可能已经比较满意我们对整数量子霍尔效应的简单定性解释，但专家们却不是这样想。他们认真考察、反复推敲，还用各种数学物理模型进行理论推导，总是看出许多不尽人意之处。比如说吧，刚才提及的霍尔电阻平台高度异常平整的事实，就很难从理论上完全解释清楚。

后来，美国物理学家劳夫林（Laughlin）利用规范理论，对IQHE给出了一个比较合理的理论解释^【1】。

在1982年，崔琦和史特莫等人发现了分数量子霍尔效应（FQHE）^【2】，尽管也是霍尔电阻出现平台的现象，但是，使用解释IQHE的理论，却难以理解分数量子霍尔效应。

也正是刚才提到的那位劳夫林，在1983年给出了Laughlin 多体基态波函数，解释了分数量子霍尔效应^【3】。

对IQHE的解释，以及这个科普系列中经常使用的能带论，都基本上是基于固体理论中的单电子近似。在这个近似模型中，电子在晶格原子的周期势场、以及其它电子的平均势场中运动。换言之，单电子近似将异常复杂的多体问题近似成的单独一个电子的问题来研究，未曾考虑电子和电子之间的相互作用。但是，分数量子霍尔效应是在更低温度、更强磁场下得到的，是一种低维电子系统的强关联效应。在这种条件下，电子相互之间的关联不可忽略，而是恰恰相反，此种关联对FQHE中分数平台现象的出现起着关键性的决定作用。

劳夫林认为在低温强磁场下，电子之间的库伦作用，将形成一种不可压缩的量子流体（incompressible quantum fluid）。这种新颖的量子态，涉及到诸多丰富而深奥，对电子系统前所未有的物理内容，诸如‘分数电荷’、‘复合费米子’、‘复合玻色子’、‘任意子’等等，这些涉及量子多体理论的内容已超出了本系列文章的范围，并且这些全新的概念也带来许多尚待研究的新课题。因此我们不对FQHE的劳夫林理论作更详细的叙述，只在下文中对电阻平台标记n成为了分数这点，给出一个简单的图像。有兴趣者可阅读相关的参考文献^【4，5】。

刚才在解释整数量子霍尔效应时说到过，图27.1a中IQHE电阻平台上标记的整数n，即填充因子，是等于被电子完全填充了的朗道子能带的数目。除此之外，我们还可以用另外好几种方式来理解n。

比如说，n可以等于二维电子系统中的电子数N与磁通量子数N_f的比值。

量子霍尔效应，研究的是二维系统中电子在均匀磁场中的运动。量子化电子的运动遵循薛定谔方程，从而得到了朗道能级。而对均匀磁场呢，我们也需要做些量子化的考虑。磁场在系统中产生了磁通量。当磁场与电子相互作用时，这个磁通量也应该被量子化。换言之，总磁通量可以被分成一个一个的磁通量子，每一个磁通量子的磁通量等于h/e。这儿h是普朗克常数，e是电子电荷。尽管磁场强度看起来是连续变化的，但对每个电子来说，只有当影响它运动的磁通量成为磁通量子的整数倍的时候，电子的波函数才能形成稳定的驻波量子态。

因为二维系统的面积是有限的，总的电子数N，以及磁通量子数N_f，也都是有限的。它们的比值，便对应于整数量子霍尔效应中的那个整数n。

图27.2：用电子和磁通量子表示量子霍尔效应

可以通俗的用‘冰糖葫芦’的图像来比喻量子霍尔效应中电子与磁通量子数目的分配关系。

如图27.2a图所示，将一个电子表示成一个山楂（图中的绿色圆饼），穿过电子的磁通量子用一根竹签表示（图中的蓝色箭头）。从图a可见，IQHE中每个磁通量子所穿过的电子数，便等于整数量子霍尔效应中的整数n。

当n=1的时候，只有一个被填满的朗道子能带，这也是一个磁通量子穿过一个电子的情形。当n=2时，有两个朗道子能带被填满，因此，一个磁通量子需要穿过两个电子。然后，可以以此类推下去。

现在来看分数量子霍尔效应的情况。霍尔效应中的分数平台是在总电子数目不变，磁场增大的情况下被首次观察到的。经过了n=1的平台之后，如果还继续增大磁场，磁通量子数也将继续增加，竹签太多，山楂不够，即磁通量子数太多，电子数目不够分配，因而出现几个磁通量子共用一个电子的情形，如图27.2b所示。如果两个磁通量子共同穿过一个电子，在IQHE中对应的整数n便成为了分数：n=1/2；如果三个磁通量子穿过一个电子，则n=1/3。还有更为复杂一些的情形，比如：如果是五个磁通量子穿过两个电子，则有：n=2/5。

如上所述，量子霍尔效应中的这个‘填充因子’n，是有点来头的。它将量子霍尔效应分成了两大类：IQHE和FQHE。刚才说过，FQHE对应于一种不可压缩的量子流体新物态。所以也可以说，填充因子n可以用作物态（相）的分类标签：n为整数时，对应整数量子霍尔态；n为分数时，对应量子流体分数霍尔态。

填充因子n的作用还不仅仅如此，进一步的理论探讨表明：每一个不同的n都代表一种不同的量子态。读者可能还记得，我们在第23节讲述相变的时候说过，“朗道的对称破缺理论，一直被用来解释相和相变，直到……”

直到发现并深入研究量子霍尔效应后，物理学家们认识到，不同的n值代表的不同量子态，特别是分数量子霍尔态，不能由朗道的对称性破缺理论来归类和解释，而需要由系统波函数内在的拓扑性质来描述。

分数量子霍尔态的出现是由于极低温下电子基态的简并。不同的分数量子霍尔态之间没有通常所指的那种朗道模式的对称破缺，这些态都具有同样的对称性，它们之间的不同可以直观地用这些基态简并电子集体运动模式的不同（拓扑序）来表征。

好比是这些电子在跳着各种复杂的集体舞。每一种分数量子霍尔态对应一种集体舞模式，每种模式可以与拓扑中的‘亏格’数来表征，见下图。

有两位华裔物理学家，对凝聚态物理近二十来年的发展做出了杰出的贡献，那是大家熟知的斯坦福大学教授张守晟，和MIT（后到加拿大？）的文小刚。巧得很，这两位学者都是从高能物理开始再转而研究凝聚态的。文小刚继劳夫林解释分数量子霍尔效应之后，建立了分数量子霍尔效应的拓扑序理论和边缘态理论^【6】。之后又进一步把粒子物理中‘弦’的形象嫁接到凝聚态中，提出了弦网凝聚理论，不仅揭示了拓扑序和量子序的本质，而且又转而返回到最基础的物质本源问题，构造出了一个光和电子的统一理论。我们对此不再多言，有兴趣者可参看文小刚本人就弦网凝聚理论而写的一篇精彩科普^【7】。

文小刚科学网博客：

http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=1116346

参考资料：

【1】Laughlin, R. B. (1981). "Quantized Hallconductivity in two dimensions". Phys. Rev. B. 23 (10): 5632–5633.

【2】D.C. Tsui, H.L. Stormer, A.C. Gossard(1982). "Two-Dimensional Magnetotransport in the Extreme QuantumLimit". Physical Review Letters 48 (22): 1559.

【3】R.B. Laughlin (1983). "AnomalousQuantum Hall Effect: An Incompressible Quantum Fluid with Fractionally ChargedExcitations". Physical Review Letters 50 (18): 1395.

【4】http://en.wikipedia.org/wiki/Resistor

【5】D. Yoshioka,The Quantum Hall Effect,Springer, Berlin (2002).

【6】Xiao-Gang Wen, Topological Orders in RigidStates. Int. J. Mod. Phys. B4, 239 (1990)。

【7】文小刚. 我们生活在一碗汤面里吗？——光和电子的统一与起源.Physics, 2012, 41(06): 359-366.

http://www.wuli.ac.cn/CN/Y2012/V41/I06/359

【8】An Introduction of Topological Orders，Xiao-Gang Wen

http://dao.mit.edu/~wen/topartS3.pdf

【9】“TheFractional Quantum Hall Effect”, J.P.Eisenstein and H.L. Stormer, Science 248, 1461 (1990).

http://www.sciencemag.org/content/248/4962.toc

【10】Composite fermions and bosons: Aninvitation to electron masquerade in Quantum Hall：http://www.pnas.org/content/96/16/8821.figures-only

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