8.倒格子空间

两位布拉格同时被授予诺贝尔物理奖，自然地引起了人们的质疑：这个工作恐怕主要是由父亲做的吧？这种说法不知是否也曾经使小布拉格苦恼过？他可能并不在乎，因为他有独自发表的第一篇论文，强烈地、毫无疑问地证明了他对这个领域的贡献和能力^【2】。

早在6岁的孩童时代，1896年，小布拉格因为骑自行车摔跤而受伤。父亲带儿子用当时澳大利亚新装配的第一台X射线发生器，拍了一张儿子肘部受伤部位的x射线照片。也许从那时候开始，小布拉格就牢牢地记住了这位能干的x-射线‘女士’？

1912年，劳厄发表有关X射线衍射的论文时，小布拉格正在剑桥大学做研究。劳厄的工作立刻引起了小布拉格的兴趣，不到四个月之后，他就以《晶体对短波长电磁波的衍射》为题向剑桥哲学学会报告了他的研究成果。

文章中，小布拉格成功地解释了劳厄的实验事实，提出了晶体衍射的布拉格方程，巧妙而方便地借用镜面反射规律来描述晶体中各原子对电磁波的衍射效应。不过，他在文章标题中用的是‘短波长电磁波’，而不是‘X-射线’一词，这是为什么呢？其原因与老布拉格当时对X-射线的看法有关。开始时，老布拉格认为X-射线不是波，而是一种微粒，他试图用微粒理论来解释劳厄的照片，但失败了。布拉格一家人夏天在海滨度假的时候，父子俩讨论过这个问题。小布拉格回到剑桥后发现，如果用某种‘短波长电磁波’的概念，能够完美地解释劳厄观察到的现象。但是，受父亲观点的影响，小布拉格尚未确定这个短波长的电磁波，到底是入射的X-射线本身，还是X-射线通过晶体时激发产生出来的另一种次级电磁波。后来，老布拉格用实验观察证实了衍射后的出射波也是X-射线，才接受了X-射线就是一种电磁波的理论，转而和儿子一起，潜心研究晶体结构分析的实验方法，并对多种晶体进行了测试，奠定了用X-射线衍射来确定晶体结构的理论基础。

图7（a）是晶体衍射的示意图。根据布拉格衍射条件：2d sinθ = nλ，这儿，d是晶格常数，θ是衍射角。如果我们将波长λ用波矢量k=2p/l来代替的话，经过简单的代数变换后，很容易将衍射条件写成：

k sinθ= n(p/d)                                  （7.1）

仔细观察图7（a），我们发现，不难从几何上理解公式（7.1）。它描述了满足衍射加强条件的波矢k与晶体结构中原子间距d之间的关系。满足衍射加强条件的波矢k的方向，也就是能打在衍射屏幕上而出现亮点的电磁波方向。所以，换言之，公式（7.1）描述了衍射图像亮点的位置与d之间的某种关系。什么样的关系呢？公式的右边是变量(p/d)的整数倍，这个变量与原子间距离d的倒数有关。

图7

再进一步引伸下去，说得更清楚一些。图7（a）所示的衍射实验，得到如（b）图所示的衍射图像，这个图像看起来是某种格点空间的映像。这个新格点空间不是晶格本身，但是又和原来的晶格有关系：新格点间的距离正比于原来晶格原子间距d的倒数。而且，新格子空间的量纲也倒过来了。原来的晶格是在真实空间中，点间的距离d是长度（米）的量纲，而新格点间的距离(p/d)的量纲是‘米’的倒数（1/米）。既然数值和量纲都是倒数的关系，人们便把这个虚拟的空间叫做 ‘倒格子’空间，见图7（c）。

从数学的观点看，倒格子是原来周期性晶格的傅立叶变换^【3】。说到傅立叶变换，大家比较熟悉的是从时间空间到频率空间的变换，时间的周期函数变换成频谱。比如，我们用光谱来研究光线中包含的各种颜色，用乐谱来表示音乐。对晶体来说，傅立叶变换将通常的坐标空间变换成了波矢空间。而原来坐标空间中的晶格，则变换成了波矢空间中的‘倒格子’。无论是正格子，还是倒格子，都属于我们在前一节中提到过的‘布拉菲点阵’。并且，正格子和倒格子在对称性方面互相关联，产生许多有趣的特性，在此不再赘述，读者可参考有关文献^【4】。

现在，我们知道晶体的衍射图像对应于倒格子，就更加明白了布拉格父子工作的重要意义。因为固体中原子的晶格结构，是很难用显微镜直接观察到的。但是，X射线的衍射图像却已经可以得到。从X射线的衍射图像，我们可以计算出倒空间的几何结构，然后，再从倒空间，反过来又能计算出正晶格的相关常数，这样，晶体的结构不就一目了然了吗。因此，波矢空间及倒格子的概念，对研究固体物理的意义非常重大。探测晶体结构，不仅使用X-射线，也能用电子或中子衍射，从量子力学的观点，这些粒子（或电磁波）都具有波粒二象性，波矢反映了波动性，粒子性则可用动量表示。波矢与动量之间只相差一个常数因子，因此，波矢空间有时也称为动量空间。

固体的晶格结构清楚了，就方便于从理论上求解薛定谔方程，从而研究电子在固体中的运动规律。这样，下一节我们又将返回到固体中电子能带的问题。

参考资料：

【1】Bravais, A. (1850). "Mémoiresur les systèmes formés par les points distribués régulièrement sur un plan oudans l'espace". J. Ecole Polytech. 19: 1–128 (English: Memoir 1,Crystallographic Society of America, 1949.)

【2】Bragg, W.L. (1913). "TheDiffraction of Short Electromagnetic Waves by a Crystal". Proceedings ofthe CambridgePhilosophical Society 17: 43–57.

Bragg's Nobel lecture ''The diffraction of X-rays by crystals'' is at http://diamond.kist.re.kr/knowledge/nobel-physics/1915/wl-bragg-lecture.pdf

"The Nobel Prize in Physics 1915". Nobel Foundation。

【3】B. E. Warren (1969/1990) X-raydiffraction (Addison-Wesley, Reading MA/Dover, Mineola NY).

【4】《固体物理学》，黄昆、韩汝琦著，高等教育出版社出版，2005，

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