7. 能级和能带

在原子的电子云模型中，电子是一种费米子。根据量子理论，费米子不喜欢群居，而是自已有自己单独的‘房间’。它们遵循泡利不相容原理，在原子周围分层而居，分级而站，互不侵犯，井井有条。从能量最低的状态开始排队进入，占据原子一个个分离的能级。

尽管对量子力学基础的解释至今仍然莫衷一是，但如果我们说量子力学是进一百多年最成功的物理理论并不为过。从1900年开始，诺贝尔物理奖中的百分之九十以上颁给了与量子论有关的研究。而量子力学的成功事例中，建立于量子理论的基础上的能带论尤其令人刮目相看。用固体中的能带理论，科学家们成功地、从微观的角度解释了导体、绝缘体、和半导体导电性质的差别，从而才有了如此发达、造福人类的半导体工业。

首先，量子理论成功地解释了氢原子的光谱及其精细结构。包含了氢原子库仑势的薛定谔方程可以在球坐标下用分离变量法精确求解。然后，再计算出氢原子中电子的能级图，类似于下图中的图（a）。

图1

根据泡里不相容原理，如图1（a）所示单个原子中的每个电子，各自都占据着互不相同的、分离的能级，就像一个家庭中几个兄弟分房而居的情形。

如果现在，有两个一模一样的家庭（原子）靠得很近如同图1（b）所示，那情况会怎么样呢？从图中可见，这时候，从外面看，双家庭仍然有一个高高的库仑势垒，电子不能跑到双原子外边。但在两个家庭的内部就不一样了。能量小一些的电子仍然在自家屋内规规矩矩地住着；能量大一些的（比如图中能量为E的）电子，便可以到另一家‘互相串门’。它们好像变成了两家 ‘共有’ 的孩子。不过，这两个共有电子仍然要求各自有自己的住房。因此，原来的能级E就分裂成了E1和E2两个非常靠近的能级。

让我们再更进一步，如果有很多这种一模一样的原子家庭靠在一起，情况又如何呢？其实这也就正是在固体中常见的情形。图1（c）是这种情况的示意图：能量小的电子仍然在家呆着；能量大的如图中电子E_A，便可以到处串门；即使是能量如图中E_B的电子，‘串门’也是可能的，因为量子论预言了隧道效应，正门不开还有隧道可通呢。因此，诸如能量为E_A、E_B这类电子，便成了所有原子的‘共有电子’。无论是走正门还是穿隧道，这些共有电子都可以在整个固体（晶体）中自由自在地跑来跑去，我们将它们叫做自由电子。自由电子的存在决定了固体的导电性能。

固体中自由电子到底存在与否？数量多少？又与原子原来的能级结构有关。如上所述，晶体中的共有电子虽然自由，但它们还是保持原来那种‘不愿群居’的本性，每人要各住一层楼。所以，就和图1（b）所示的两原子情况类似，原来的一个能级产生了分裂，如果固体中总的原子数目为N的话，原来的一个能级就分裂成了N个能级。

图2：（a）单原子能级（b）晶体中能级分裂成N个（c）形成能带

如图2（b）所示，原子能级的分裂与原子之间的距离有关。当原子之间相距很远时，每个原子相当于单原子，电子处于相同的单原子的能级上。如果原子之间距离越来越近，单个原子的电子逐渐公有化，能级分裂成许多相隔很近、貌似连续的能级，形成能带。

图2（a-c）简单地描述了固体中电子能带的形成。简单地说，由于固体中的原子互相靠近，形成电子共有。比如，以硅晶体为例，硅原子之间距离很近，最短距离只有0.235nm。因此，硅原子最外的电子壳层互相便发生交叠，这些电子不再局限于某个原子，而成为公有化的电子。从而使原来单原子电子的能级分裂成能带。价电子的能级分裂而形成的能带叫‘价带’ （Valence Band），价带之上的第一个，即能量最低的那个允许电子占有的能带叫‘导带’ （ConductionBand）。导带和价带之间可以有空隙，称之为‘能隙’，或禁带（ForbiddenBand）。对于不同的材料，禁带宽度不同，导带中电子的数目也不同，从而有不同的导电性。导带、价带和禁带之间的关系决定了绝缘体、导体、半导体的区别。

如图3（a）所示，绝缘体中，价带充满电子，导带是空带，导带和价带之间有很寬的能隙Eg（禁带），价带中的电子很难突破这个禁带到达导带，所以，绝缘体不能导电。

如图3（b）所示，导体中没有禁带，Eg=0，导带和价带连在一起，甚至互相重叠，价带中的电子可以到达导带而成为整个固体共有的自由电子，所以，导体有强导电性。

图3（c）所示的则是半导体的情况。类似于绝缘体，半导体也有导带、价带、和禁带。价带也是满带，但是价带和空带之间的能隙Eg很小，也可能有交叠。这样它就很容易在外界作用（如光照、升温等）下发生跃迁而发生导电现象。但它的导电性能比导体要差得多，因而称之为半导体。

图3

 能带论是研究固体最重要的理论基础，它的最大成就是成功地解决了经典电子论难以解决的许多问题，解释了半导体中的诸如光敏、热敏、掺杂等各种现象，是量子力学在固体中应用最重要的结果之一。

图7-1.pdf

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