第二章：简单分形

“王二不简单啊！”张三说：“你看，数学上真的有如你所说的分数维……”

王二却假装丧气地说了一句笑话：“唉，可惜我晚生了100多年，要不然，我就是第一个提出分数维的人了……”

图（2.1）：皮亚诺和他的space filling curve

原来非整数维的需要，早在1890年，就被意大利数学家皮亚诺(G.Peano)提出。他当时构造了一种奇怪的曲线。你们看，按照图（2.1）的方法一直构造下去，最后所逼近的极限曲线，应该能够通过正方形内的所有的点，充满整个正方形。那不就等于是说：这条曲线最终就是整个正方形，就应该有面积！这个结论令当时的数学界大吃一惊。一年后，大数学家希尔伯特也构造了一种性质相同的曲线。这类曲线的奇特性质令数学界不安：如此一来，曲线与平面该如何区分？对这种奇怪的几何图形，当时的经典几何似乎显得无能为力，不知道该把它们算作什么。

这类奇怪的曲线，包括我们在上一章中介绍过的分形龙，都是分形的特例，不同的迭代方法，可以形成各种各样不同的分形。自皮亚诺之后，科学家们对分形的研究，形成了一个新的几何分支，叫做“分形几何”。

分形(Fractal)是一种不同于欧氏几何学中元素的几何图形。简单的分形图，例如上一章中所举的分形龙例子，很容易从迭代法产生。还有许多看起来更简单的分形曲线。比如，如图（2.2）所示的科赫曲线。

图（2.2）科赫曲线的生成方法

尼尔斯·冯·科赫（Niels von Koch） （1870– 1924）是一位瑞典数学家，出生于瑞典一个显赫的贵族家庭。冯·科赫的祖父曾担任瑞典的司法大臣，父亲是瑞典皇家近卫骑兵团的中校。研究数学和哲学，是当年瑞典贵族阶层的流行风尚，如今闻名世界的诺贝尔奖，就是由瑞典皇家科学院专设的评选委员会负责评审和颁发的。冯·科赫在1887年被新成立不久的斯德哥尔摩大学录取，师从著名的函数论专家哥斯塔·米塔格-列夫勒（Gösta Mittag-Leffler）。由于斯德哥尔摩大学当时尚未获得颁发学位的许可，之后他又就读于乌普萨拉大学，在此校获得文学士及哲学博士学位之后，被斯德哥尔摩的皇家工学院任命为数学教授，

在短短的54年生命中，冯·科赫写过多篇关于数论的论文。其中较突出的一个研究成果是他在1901年证明的一个定理，说明了黎曼猜想等价于素数定理的一个条件更强的形式。但是，他留给这个世界的最广为人知的成果，还应该是这个此文中所介绍的以他而命名的科赫曲线。

科赫在他1904年的一篇论文“关于一个可由基本几何方法构造出的，无切线的连续曲线”中，描述了科赫曲线的构造方法。

如图（2.2）所示，科赫曲线可以用如下方法产生：在一段直线中间，以边长为三分之一的等边三角形的两边，去代替原来直线中间的三分之一，得到（a）。对（a）的每条线段重复上述做法又得到（b），对（b）的每段又重复，如此无穷地继续下去得到的极限曲线就是科赫曲线。科赫曲线显然不同于欧氏几何学中的平滑曲线，它是一种处处是尖点，处处无切线，长度无穷的几何图形。科赫曲线具有无穷长度。这点很容易证明：在产生科赫曲线的过程中，每一次变换都使得曲线的总长度变成原来长度的三分之四倍，也就是说乘以一个大于一的因子。例如，如果假设开始时的直线段长度为1，在图（2.2a）中，折线总长度为4/3；而（b）图的折线总长度为（4/3）*（4/3）；（c）图的折线总长度为（4/3）*（4/3）*（4/3）；这样一来，当变换次数趋向于无穷时，曲线的长度也趋向于无穷。

科赫雪花则是以等边三角形三边生成的科赫曲线组成的，如图（2.3）所示。

图（2.3）科赫雪花

李四指着图（2.3）说：“你们看，这科赫曲线处处连续而处处不可微……”话还没说完，就被王二打断了，王二指着（b）中的一段直线：

“连续是对的，我怎么看不出处处不可微呢？这些平平的三角形边上直线的部分不都是可微的吗？”

李四明白了王二的困惑之处，笑嘻嘻地解释道：“问得好！这是一个很重要的概念：我们用迭代的方法生成分形，但是，生成过程中的那些图都不是分形，只是最后那个无穷迭代下去的最后极限的图形才叫做‘分形’！”

张三说： “对，所以实际上，分形是画不出来的。”

王二也明白了：“是呀，只能看着图，再加上想象……”

言归正传，因为每条科赫曲线都是连续而无处可微的曲线，每条曲线的长度都是无限大，所以，由三条科赫曲线构成的科赫雪花的整个周长也应该是无限大。然而，从图中很容易看出，科赫雪花的面积却应该是有限的。因为整个雪花图形是被限制在一个有限的范围之内。比如，科赫雪花的面积应该是大于图（2.3a）中正三角形的面积√3*1.5，而小于图（2.3d）中红色圆形的面积pi。

利用初等数学很容易求得图（2.3）中，作无限次迭代之后科赫雪花图形的面积。

设A₀为初始三角形的面积，A_n为n次迭代之后图形的面积，读者不难得出下面的迭代公式：

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