在解释贝尔测量(Bellmeasurement)之前，首先复习一下介绍qubit时使用过的狄拉克符号，并且重温我们在第八节中提到过的贝尔态的定义。

对一个单光子的系统，考虑它所有的偏振态，可以表示为两个基态｜1＞和｜0＞的线性组合：｜A＞ = a｜1＞+b｜0＞。如果是两个光子的系统，就有4个基态：

｜11＞、｜10＞、｜01＞、｜00＞。            （19.1）

这个两光子系统的所有量子态都可以用这4个基底的线性组合来表示。此外，我们也可以采取另外一种基底，叫做贝尔态基底。这就如同在我们的3维空间中，我们可以将xyz坐标轴旋转成另外一套x^’y^’z^’坐标轴一样。这样做的目的是将原来那套不纠缠的基底（19.1）换成4个纠缠态（贝尔态）作为基底。4个贝尔态在原来的（19.1）基底下，可以表示如下面的形式：

｜f⁺＞ =｜11＞+｜00＞                       （19.2）

｜f^-＞ =｜11＞-｜00＞                       （19.3）

｜y⁺＞ =｜10＞+｜01＞                       （19.4）

｜y^-＞ =｜10＞-｜01＞                        （19.5）

既然（19.2-19.5）是2粒子量子态态空间的基底，那么，所有2粒子的量子态就都可以表示成这4个贝尔态的线性组合，也就是这4个贝尔态的叠加态：

｜2粒子量子态＞ = B₁｜f⁺＞ + B₂｜f^-＞ + B₃｜y⁺＞ + B₄｜y^-＞   （19.6）

（19.6）中的B₁、 B₂、 B₃、 B₄为复数，它们绝对值的平方：|B_n|²，分别表示测量时，这个2粒子量子态塌缩到相应的贝尔态的几率。因此，所谓的Alice对两个光子作“贝尔测量”的意思，就是探测这个两粒子系统到底塌缩到哪一个贝尔态。

在实验室里，用作两光子贝尔态测量的主要设备是50:50分光器(beam splitter)。当一个光子经过分光器后，可能继续前进（透射），也可能被反射。光子走任何一条道路的几率是50%。这种分光器输出的各种情形如下图所示。

上图中的图a表示：一个光子A入射到分光器，或者反射，或者透射，概率各半。

现在考虑两个光子A和B，分别从左右两边入射到分光器。当两光子同时抵达分光器时，两光子之波包相互重叠，因而产生干涉效应。它们经过分光器后有四种情形：1，A反射、B透射；2，A透射、B反射；3，A反射、B反射；4，A透射、B透射。第一种情形，两个输出光子同时射向左边，如图b所示。情形2时，两个光子同时射向右边，如图c所示。但是，我们无法区别第三和第四这两种情形，因为光子是不可区分的。我们不知道，从分光器射出的光子，哪个来自A？哪个来自B？所以，在3和4这两种情形下，都是一个光子向左，一个光子向右，如图d所示。

在此还必须说明一点：仅仅利用线性光学器件，不可能在实验中区分4个贝尔态。理论上已经证明，最多只可能区别4个贝尔态中的3个。所以，也就是说，如果只用线性元件，我们就只能作“不完全的贝尔测量”。在上面的公式（19.2-19.5）所表示的4个贝尔态中，｜y^-＞ =｜10＞-｜01＞是一个反对称的单态，另外的｜f⁺＞、｜f^-＞和｜y⁺＞则构成对称的三态。利用刚才所介绍的半透半反分光器，可以将贝尔单态｜y^-＞，与其它贝尔态分开来。

如上图所示，在光子离开分光器(BS)出来的两个途径上各置一个偏振分光器（PBS）。光子经过PBS后，按概率分成垂直偏振和水平偏振两条路。左右两边的光子的两种可能性分别由侦测器D1、D3和D2、D4探测。我们仅仅当左右方两个检测器同时侦测到光子时，才作记录，这就是所谓的同时符合测量(coincidence measurement)。这样的设置意谓每一出来的途径必须有一个光子，所以只有两个可能：两个光子经过分光器时都继续前进或同时被反射，因为这两种情形是无法区分的，所以出来后之两光子态是这两种情形之状态之线性叠加，其振幅大小相同而符号相反。因此，在符合测量设置下，只有贝尔单态｜y^-＞是容许的。这时，我们测量到了贝尔单态，而原来两光子之状态也崩溃成贝尔单态。  

1997年，塞林格所领导的奥地利国际研究小组第一次在实验上实现了量子隐形传输。2004年，这个小组又利用多瑙河底的光纤信道，成功地将量子态隐形传输距离提高到600米。之后，中国科大——清华联合小组在北京八达岭与河北怀来之间，架设长达16公里的自由空间量子信道，并取得了一系列关键技术突破，最终在2009年成功实现了世界上迄今为止最远距离的量子态隐形传输。

量子隐形传态实验过程的简化原理图如下所示：

图中心纠缠光源发出的孪生光子A和B分别传送给Alice和Bob。 Alice 处有半透半反分光器BS等，对A以及准备隐形传态的光子X，作刚才我们所描述的“同时符合”贝尔测量，将测量的结果：“符合”或“不符合”，通过经典通道，比如微波天线，发射给远在另一端（多瑙河对岸）的Bob。然后，Bob便需要对他所拥有的B，或者说是，从多瑙河底的光纤信道（量子通道）传过来的光子，作一些我们上一节中提到过的“变换处理”。

比较起Alice的“贝尔测量”来说，Bob的“变换处理”操作要简单多了，因为实际上，在Alice用X和A完成贝尔测量的那一霎那，X、A、B三粒子之间，已经完成了“纠缠转移”：原来不纠缠的X和A纠缠起来，光子X原来量子态的大部分信息，已经转移到B。比如在Alice作的“同时符合”贝尔测量情况下，Bob只需要根据从微波天线接受到的信息，对光纤信道传来的光子，作点小变换：如果微波信息是“符合”，什么也不作；如果微波信息是不“符合”，则将传来的光子的偏振方向变成与原方向垂直。上面所说的目的，用得到的微波信息，连到一个电光转换开关，再控制偏振器，即可达到。像在上图中，Bob的圆圈中所显示的那样。

到此为止，原来的光子X的所有信息都转移到了Bob所拥有的光子B上。而实际上，Alice和Bob从始至终都对X上的这些信息一无所知，他们唯一所知道的只是： 最后，X和A成为纠缠单态，Bob的粒子有了原来X的所有性质，隐形传态完成了。

在量子隐形传态的实验中，调节每个光子之间的时间差，做到两个光子必须“同时”到达测量仪器，对隐形传态的成功与否至关重要。

“贝尔测量”也是影响传态保真度的重要因素。因为利用线性光学元件，不能完全区分四个贝尔态。因此，要实现完全的贝尔测量，就需要采取另外一些办法。一个方法是使用非线性的光学器件（见参考资料）。

另外一条路就是采取“连续变量”纠缠源来实现量子隐形传态。

我们在此文中所叙述的量子纠缠及其在量子信息中的应用，基本是基于以单光子偏振态为代表的 “分离变量”方法。实际上，也有不少实验室研究所谓“连续变量”的量子信息技术。连续变量量子信息，是以光场正交振幅和正交位相分量为代表。“分离变量”对应于有限维的状态空间，可以用简单的量子力学算符和方程准确描述，而“连续变量”对应于无限维的状态空间，解释起来不容易。两种方式各有优点与不足，比如对量子隐形传态来说，用连续变量方法，可以做到完全的贝尔测量，理想情况下的贝尔探测效率可达100%。在此我们不多谈两种方式的优缺点，目前也有人提出hybrid 的方案，即是将分离变量和连续变量量子资源结合起来，发展混合型的量子信息技术。

可喜的是，对量子信息的研究和实验方面，中国的学者们，走在了国际科研的前沿。除了使用分离变量方法的中科大-清华团队之外，山西大学光电研究所在连续变量量子信息方面做了很多突出的工作，他们的实验室，不仅在国内连续变量领域是独此一家，在世界上也可算是这方面几个有代表性的实验室之一。他们在2004年，最早实现了连续变量的量子隐形传输。2006年，他们的研究团队利用连续变量量子纠缠，设计和实现了量子保密通信，并证明了它在长距离传输中的安全性（见参考资料）。

参考资料：

第一次量子隐形传态：D. Bouwmeester, J. W. Pan, K. Mattle, M. Eibl, H.Weinfurter, and A.Zeilinger, "Experimental quantum teleportation,"Nature 390 (6660),575-579 (1997).

中科大和清华团队文章：Xian-Min Jin, Ji-Gang Ren, Bin Yang, Zhen-Huan Yi,Fei Zhou, Xiao-Fan Xu, Shao-Kai Wang, Dong Yang, Yuan-Feng Hu, Shuo Jiang, TaoYang, Hao Yin, Kai Chen, Cheng-Zhi Peng and Jian-Wei Pan. ExperimentalFree-Space Quantum Teleportation，Nature Photonics, 4, 376-381(2010).

连续变量：“Experimental procedures for entanglementverification”, on Phys. Rev. A 75 , 052318 (2007)；

混合型量子信息：“Optical hybrid approaches to quantum information” on Laser & Photonics Reviews , February 25 , 2010。

连续变量量子隐形传输：Phys.Rev.Lett.93.250503;

连续变量量子保密通信：Europhys. Lett. 87, 20005 (2009); Phys. Rev. A 74,062305 (2006)。

完全贝尔测量：http://www.physics.ohio-state.edu/~wilkins/writing/Assign/topics/Q-trans-prl.pdf

（全文完）

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