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拓扑相变:解读2016年诺贝尔物理奖 精选

已有 23335 次阅读 2016-10-13 08:12 |系统分类:科普集锦

2016年,诺贝尔物理奖颁发给了三位美国科学家:戴维·索利斯(David Thouless)、邓肯·霍尔丹(DuncanHaldane)和迈克尔·科斯特利兹(Michael Kosterlitz),以表彰他们“在拓扑相变以及拓扑材料方面的理论”。


拓扑的直观意义

拓扑描述几何空间的整体性质,不感兴趣“点与点之间的距离”之类的数值,只感兴趣点之间的连接方式,即研究的是“连没连”、“怎样连”这样的问题。

举三维空间中二维曲面的拓扑性质为例,可以更为直观地理解拓扑。如果一个二维曲面不能被撕裂和粘贴,但可以如同橡皮膜一样地被拉伸、弯曲或压扁,这个曲面是拓扑不变的,或者说拉伸前后保持同样的拓扑。因此,拓扑也被人俗称为“橡皮膜上的几何学”。

更为直观和有趣的是考虑二维闭合曲面。比如说,一个橡皮膜做成的球面(图1左),通过拉伸及缩小可以变形成椭球面或其它各种形状,但却不可能变成图1中图所示的面包圈面的形状。类似地,面包圈面形状的一个面团,可以揉捏成一个茶杯形状。也就是说,面包圈面的拓扑,与茶杯表面的拓扑是一样的。

数学上将这一类“有限、无边界、有方向”的二维闭合面,用“亏格”来描述和分类。对实闭曲面而言,通俗地说,亏格就是曲面上洞眼的个数,即:球面的亏格为0,面包圈面的亏格为1,如图1所示。

1:不同的亏格对应的不同拓扑

物质的千姿百“相”

初中的物理书上就告诉我们,物质有三态:气态、液态、固态。后来的说法再扩大了一些,加上了等离子态、波色-爱因斯坦凝聚态、液晶态等等。除了“态”这个字之外,现代物理学中用得更多的是物质的“相”。物质不同“相”的种类比一般所说的“态”的种类要多得多。也就是说,对应于同一个态,还可以有许多不同的相。比如,水的固态是冰,但冰有很多种不同的结晶方式,它们便对应于不同的相,如图2(左)所示。此外,昂贵的钻石和铅笔中的石墨,同为碳的同素异形体,但因其晶体结构不同,也形成了特性迥异的物质相,见图2(右)。


2:同一物质不同的相。(左)雪花的不同结晶态;(右)碳的同素异形体

人们最开始对“固、液、气”三态的认识,是基于它们不同的表现形态:固体有一定的体积和形状;液体有一定体积,但形状不定;气体则体积、形状均不固定。而当物质的这三态互相转变时,也相应地伴随着体积的变化和热量的吸收或释放。物理学家们将这一类转换叫做一级相变。这个“一级”,在这儿有一个数学上的意义:在相变发生点,热力学中的参量(比如化学势)不变化,而它的一阶导数(如体积等)则有变化。

为了解释实验中不断出现的各种相变,这个一级相变的概念也被延伸下去。如此便有了二级、三级……等等用热力学量的N阶导数来区分不同级别的相变。不过,级别高的相变并不多,暂且还没有必要分得那么细致。因此,人们将除了一级相变之外的更高级相变,统称为连续相变。

那么,如何来定义物理中的“相”呢?在各种具体情况下可以有不同的定义,就像上面所举的雪花及碳的不同结晶“相”那样,与本篇主题有关的主要是“贝里相位”。

贝里相位

物理学中通常用“相位”一词来描述某种波动性质,比如说交流电的相位、振动弦的相位、量子力学中波函数的相位等等。贝里相位是具体应用到电磁现象中的产物。在经典电磁学中,相位只有相对意义:两个波的相位差会形成干涉条纹,但一束电磁波的绝对相位值,并不产生任何观测效应。在电磁的量子理论中,相位具有可观测物理效应,这便是贝里相位。


3:通电线圈引起的相位因子f是贝里相位

考虑空间有一个通电螺线圈。假设线圈中有如图3b所示方向的电流,则会在螺线圈的内部产生向上的磁场。想象这个线圈绕得非常紧密,无限细又无限长的话,磁场只能被束缚在Y轴上,而整个空间的其余部分电场和磁场都为0。从经典观点看,如果有电子绕线圈一周后,没有感受到电磁场,对它的状态不会有任何影响,但实验结果却有影响。1984年,英国数学物理学家迈克尔·贝里爵士(Sir Michael Berry,1941-)从量子的观点引进“贝里相位”解释了这个现象。贝里认为,一个量子体系回到原来状态时,有可能会带来一个额外的,因为空间的几何性质而产生的相位因子,称之为几何(贝里)相位1】。如果电子路径不包括线圈时,这个相位为0。但如果电子路径包括线圈在内,贝里相位便不为0,它具有可观察的的物理意义。不可将其忽视,贝里风趣地比喻说,就像不能将“小孩”与洗澡水一起倒掉一样。贝里相位被量子力学和光学实验的观察所证实。


4:贝里和他研究的“磁悬浮青蛙”

有趣的是,贝里除了因提出几何相而出名之外,还因为与安德烈·海姆研究“磁悬浮青蛙”获得2000年的搞笑诺贝尔物理奖(Ig Nobel Prize for Physics)2】。海姆后来因为对石墨烯的开创性实验研究而获得2010年诺贝尔物理奖,贝里也曾得到过沃尔夫物理奖等多种奖项。由此可见,搞笑诺贝尔奖也不仅仅是一种戏谑调侃,可能更多的是体现了一种幽默,得奖者中也不乏创意之人,比如贝里就应该可以算作一个。


拓扑如何进入物理学中?

1982年,早于贝里在研究量子混沌时提出的“贝里相位”,美国华盛顿大学物理学家索利斯等人,为了解释整数量子霍尔效应,已经将数学中的拓扑概念与电子波函数的“相位”联系起来。两组人马从不同的课题来研究量子电磁现象,却得到了类似的结论,大有异曲同工之妙。

索利斯与贝里的共同结论是:量子态与空间的整体拓扑性质有关。

首先从图3实验中的贝里相位说起,电磁势积分一圈后的额外相位因子f的根源来自于细长的螺线线圈。虽然线圈在外面空间中产生的电场和磁场处处为0,但是在Y轴上的磁通量却改变了空间的拓扑性质。没有这个磁场时,空间是平庸的、单连通的普通三维空间。而通电螺线管的存在相当于在电子运动的三维空间中挖了一个洞,使空间变成了非平庸的,具有了不同的拓扑性质。或者可以作如下类比:没有通电螺线管的空间类似于球面拓扑空间,加了通电螺线管之后,有了一个洞,变成了面包圈面的拓扑空间。

霍尔效应也有经典与量子之分,量子霍尔效应中又包括整数量子霍尔效应和分数量子霍尔效应。因此,量子霍尔效应中涉及到不同的、离散的量子态,构成不同的“相”,互相转变则为“相变”。

在表征量子化霍尔效应的参数中,有一个填充因子n,索利斯由n出发,引入了一个称为TKNN的拓扑数,并由此而对电子波函数的拓扑性质进行分类3】,这是第一次将数学上的拓扑概念应用于与“相”有关的凝聚态理论中,它是基于索利斯和2016年另一位物理奖得主科斯特利兹早期的工作4】

量子霍尔效应,研究的是二维系统中电子在均匀磁场中的运动。如果将电子运动和磁场都进行量子化,得到的填充因子n,可以被理解为电子数N与磁通量子数Nf的比值。


5:用电子和磁通量子表示量子霍尔效应

可以通俗地用冰糖葫芦的图像5】来比喻量子霍尔效应中电子与磁通量子数目的分配关系。

如图5图(左)所示,将一个电子表示成一个山楂(图中的绿色圆饼),穿过电子的磁通量子用一根竹签表示(图中的蓝色箭头)。从左图可见,整数量子霍尔效应中每个磁通量子所穿过的电子数,便等于填充因子n。

n=1的时候,对应于一个磁通量子穿过一个电子的情形。当n=2时,有两个子能带被填满,因此,一个磁通量子穿过两个电子。然后,可以以此类推下去。

5(中)是分数量子霍尔效应的情况。对应于竹签太多,山楂不够,即磁通量子数太多,电子数目不够分配,因而出现几个磁通量子共用一个电子的情形。如果两个磁通量子共同穿过一个电子,n便成为了分数:n=1/2;如果三个磁通量子穿过一个电子,则n=1/3。还有更为复杂一些的情形,比如:如果是五个磁通量子穿过两个电子,则有:n=2/5。

因此,填充因子n可以用作物态(相)的分类标签,每一个不同的n都代表一种不同的量子态:n为整数时,对应整数量子霍尔态;n为分数时,对应量子流体分数霍尔态。

不同的n值代表的不同量子态,无论是分数还是整数,都需要由系统波函数内在的拓扑性质来描述。

例如,分数量子霍尔效应之间的不同,可直观地用这些基态简并电子集体运动模式的不同来描述。好比是这些电子在跳着各种复杂的集体舞。每一种分数量子霍尔态对应一种集体舞模式,每种模式可以用本文一开始介绍的拓扑中的亏格来表征,见图6。


6:分数量子霍尔态对应的不同拓扑

几乎与索利斯解释整数量子霍尔效应同时,美国普林斯顿大学的物理学家霍尔丹将拓扑的概念用于一维自旋链6】,霍尔丹之后对凝聚态物理作出一系列重大贡献,包括分数量子霍尔效应等。1988年,霍尔丹第一个预言了没有磁场的(反常)量子霍尔效应7】


纤维丛和陈数

让我们再将拓扑的概念介绍得更深入一些。

贝里相位提供了一个具有拓扑结构的最简单物理系统的例子,但事实上物理中经常说到的“空间”,远不是三维空间。量子理论中一般用希尔伯特空间来描述量子态。如果考虑一个在真实的三维空间中运动的电子,对应于电子轨迹的每个点,都存在一个与波函数相应的无穷维的希尔伯特空间。由此我们可以建立一个数学模型,将电子真实运动的空间作为基空间,希尔伯特空间作为切空间,如此就构成了一个数学家称之为“纤维丛”的东西。如果来个通俗比喻的话,纤维丛可以直观地理解为如图7左图所示的图像:一根作为基底的铁丝上缠绕着许多根纤维(毛线),或者是想象成凸凹不平的泥土地上长满了长长短短的杂草。这样一来,量子理论中谈到的空间,指的是这个复杂的“纤维丛”空间,包含了基空间、纤维、还有纤维丛(乘积空间)三者的性质:铁丝弯曲成了什么形状?泥土地是平面还是球面?毛线或杂草,是简单而平庸的形态,还是某种卷曲、打结等古怪的样子?还有纤维丛本身,也可能是整体非平庸的,像图7右图所示的莫比乌斯带那种。有关纤维丛的更深入介绍,可见参考文献8】

从纤维丛的观点看,凝聚态物理中不同的量子态对应的不同拓扑,可以用一个非0的、以数学家陈省身命名的不变量“第一陈数”来表征。


7:纤维丛的直观图像

如前所述,拓扑不同于几何:几何考察局部形状,拓扑研究整体性质。然而,数学中有一个十分美妙的高斯-博内定理,将这两者关联起来。高斯-博内定理是平面几何中“三角形三个内角和等于180度”到一般二维曲面的推广,华裔数学家陈省身又将曲面上的高斯-博内定理推广到高维流形上,证明了高斯-博内-陈定理。

纤维丛是基空间和切空间(纤维)两个拓扑空间的乘积,最简单的纤维丛例子显然是当基空间和切空间都是1维的情况。比如说,平面可看作X为基底Y为切空间的纤维丛;圆柱面可看成圆圈为基底、一维直线为切空间的纤维丛。平面和圆柱面都是平庸的纤维丛,平庸的意思是说两个空间相乘的方法在基空间的每一点都是一样的。如果不一样的话,就可能是非平庸的纤维丛了,比如莫比乌斯带就不平庸,见图8。


8:纤维丛

8是“第一陈数”应用的最简单例子。陈数=0,描述拓扑平庸的圆柱面,陈数=1,描述莫比乌斯带。陈数可直观理解为基空间的点改变一圈时,纤维绕着基空间“扭”了多少圈。比如说,从图8可见,相对于平直的圆柱面而言,当基空间参数变化一圈时,莫比乌斯带上 “纤维”的方向,绕着基空间“扭”了一圈,因此陈数=1。扭得更多圈的莫比乌斯带,对应更大的“陈数”。


拓扑相变研究中的华裔

今年得诺贝尔物理奖的三位学者,是将拓扑应用于凝聚态物理的鼻祖。之后几十年,凝聚态物理无论在理论还是实验方面,都取得了长足的进展,对将来的物理理论及工程应用,有巨大的潜在意义。其中包括对各类拓扑绝缘体的研究、电子学材料、超导的应用、量子计算、量子通信,以及基础物理理论,都将受益不浅。

可喜的是,在凝聚态物理活跃的舞台上,不乏华裔学者的身影。刚才谈及的分数量子霍尔效应,是在1982年被美国新泽西贝尔实验室的几位科学家发现的,其中之一是美籍华裔科学家崔琦。

崔琦(Daniel Chee Tsui)于1939年出生于中国河南,后来到香港读书,再赴美国深造,移居美国。他和贝尔实验室的同事史特莫(H.L. Stormer),及建立分数量子霍尔效应理论解释的劳夫林(R. B.Laughlin)三人一起,分享了1998年的诺贝尔物理奖。崔琦被中国媒体誉为“从贫穷乡村走出来的诺贝尔奖得主”。

有两位美国华裔物理学家,对凝聚态物理近二十来年的发展做出了杰出的贡献,那是大家熟知的斯坦福大学教授张首晟,以及麻省理工学院的文小刚。巧合的是,这两位学者都是从高能物理开始再转而研究凝聚态。张首晟不仅理论预言了二维量子自旋霍尔态的存在,并在2006年提出在HgTe/CdTe量子阱体系中,实现量子自旋霍尔效应的可能性,并很快被德国Molenkamp研究团队的实验所证实9】。文小刚则建立了分数量子霍尔效应的拓扑序理论和边缘态理论,之后又进一步提出弦网凝聚理论,不仅揭示了拓扑序和量子序的本质,而且又转而返回到最基础的物质本源问题,构造出了一个光和电子的统一理论10】

此外,清华大学教授、中国科学院院士薛其坤带领的团队,在拓扑绝缘体的研究中脱颖而出,2013年在世界上首次发现了量子反常霍尔效应,详情请见参考文献中的资料11】

(注:此文部分内容,摘自笔者已出版的一本科普读物12】,及科学网博客系列科普“硅火燎原”


(同步发表于“知识分子”公众微信号)

参考文献

1】M. V. Berry. "Quantal Phase FactorsAccompanying Adiabatic Changes". [C]. Proc. R. Soc. Lond. A 392 (1802): 4557. 1984.

2】搞笑诺贝尔奖,[OL]. http://en.wikipedia.org/wiki/Ig_Nobel_Prize

3】D.J. Thouless, M. Kohmoto*, M. P.Nightingale, and M. den Nijs,Quantized Hall Conductancein a Two-Dimensional Periodic Potential,[J]. Phys. Rev.Lett. 49, 405408. 1982。

4】J. M. Kosterlitz & D. J. Thouless,"Ordering, metastability and phase transitions in two-dimensionalsystems", Journal of Physics C: Solid State Physics, Vol. 6 pages1181-1203 (1973)

5】D. Yoshioka,The Quantum Hall Effect, [M].Springer, Berlin. 2002.

6】F.D.M. Haldane. Continuum dynamics of the1-D Heisenberg antiferromagnet: Identification with the O(3) nonlinear sigmamodel. Physics Letters A, 93(9):464468,1983.

7】F.D.M.Haldane,Modelfor a quantum Hall effect without Landau levels: Condensed-matter realizationof the parity anomaly,[J]. Physical Review Letters,Volume 61, Issue 18, pp.2015-2018. October 31, 1988,

8】Yvonne C.B.,Cecile D.M.,Margaret D.B., Analysis, Manifolds, and Physics,[M]. North Holland Publishing Company, Amsterdam. 1977,

9】B. Andrei Bernevig and Shou-Cheng Zhang.Quantum spin hall effect. Physical Review Letters,96(10):106802, March 2006.

10】Xiao-Gang Wen, Quantum Field Theory of ManyBody Systems - From the Origin of Sound to an Origin of Light and Electrons, [M].Oxford Univ. Press, Oxford, 2004.

11】Chang C Z, Zhang J, Feng X, etal. Experimental Observation of the Quantum Anomalous Hall Effect in a MagneticTopological Insulator. [J]. Science, 2013.

12】张天蓉.电子,电子!谁来拯救摩尔定律?[M].北京:清华大学出版社,2015, pp. 140-220





2016年诺贝尔奖
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