早一段果壳网上有一篇文章叫做：为什么珠链能“反重力”？引发了许多盆友的关注。我以前做过这个实验（http://bbs.sciencenet.cn/blog-669282-733392.html），乐趣无穷，而且也自认为完全理解了其中的原理。然而，读完一篇最新的文献以后（http://arxiv.org/pdf/1310.4056v2.pdf），我发现这个里面涉及的机理颇为复杂。我原先认为是高速运动的链条的离心力把它甩出去，现在我认识到这只是造成链条跳到空中的一个因素。而另一个至关重要的因素则是杯子对链条的推力。

下图是这个链条从杯中跳起的示意图。在运动达到稳态时，链条各处速度为V。假设悬浮在空中的链条是一个半圆形，半径为r。那么如果单独把这个半圆形分离出来，它应该满足合力为零（或者用高中的语言来说，链条中的张力T+T应该提供圆弧段链条的向心力）。那么可以得到
，
其中是单位长度链条的质量。上面等式的第二个等号可以比较容易地通过积分计算得到，大家可以先接受它。比较有趣的是，这个离心力与圆弧的大小、半径无关。

从上式可得链条中的张力。注意到圆弧形链条的自身重力并未考虑进去，这是为了简化计算，因为可以估算出来离心力约比重力大两个 数量级。

我原来认为，这个链条中的张力T足以使杯中静止的链条加速到V，并且还匀出一部分来从杯中拉起高度为h1的链条。也就是说：

其中这个 就是用来加速杯中静止的链条的。这个定性的理解看起来很合理，但是这篇文献（http://arxiv.org/pdf/1310.4056v2.pdf）通过定量的计算，证明了T=f，从而得到 h1=0。也即如果只有张力在拉动杯中的链条的话，无法使链条悬空。

要获得这个证明就是要计算出 的表达式来。在一个很短的时间内，有长度为的链条从静止被加速到速度，获得动量。这个动量是由力 f 作用了的时间来提供的，也即，从而得到：。

显而易见，，也就是说链条中的张力刚刚足够能把杯中的链条拉动，加速到速度 V，根本无余力再让它跳到空中去。所以如果没有别的力来帮忙的话，链条只会贴着杯壁往下流，而不会形成那个让人惊讶的“喷泉”了。

文献的作者认为，这个帮忙往上推链条的力来自于杯底。正因为两个小钢珠之间是一根金属杆，那么金属杆的一端被往上拉时，另一端就会有向下运动的趋势（就像跷跷板一样，因为拉力 f 不是作用在质心上，所以会使金属杆产生转动）。如下图所示。向下运动的小球会挤压支撑它的杯底，从而获得一个向上的推力N。正是由于这个推力，才使得链条腾空而起，有长度为h1的链条悬浮在空中。容易得知 。

这个实验给我上了一课。定性分析并不可靠，还是得做定量的计算才能了解事情的真相。

通过阅读这篇文献，我惊奇地发现，链条的运动仍旧是研究前沿。在2012年还有人在物理顶级杂志Physical Review Letter上发表相关的文章。当高速运动的链条不是摆放在杯中，而是平铺在桌面上时，它会形成如下图所示的惊人结构。这里靠近静止端的链条会先跃起，然后又沿着水平面运动（但是注意它并没有接触水平面，所以还是悬浮状态）。这其中涉及的原理和杯中跳起的链条有类似之处。也是由于地面产生的推力才能使得链条悬浮在空中。但是至于为什么它会形成这么一个奇怪的形状，则需要通过求解动力学方程来理解了。老实说，那篇2012年的文章让我读得很晕，似乎是用英语的文言文写的，比较晦涩。

上图相关的视频请见：