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也谈“相对速度”
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鲍海飞教授的一道关于相对运动的数学题，居然连得了两朵小红花（《相对论——破解一道小学数学题》；《相对论——破解一道小学数学题》的补记），而且讨论激烈，甚至还有不同意见，令我羡慕嫉妒。于是技痒，“老夫聊发少年狂”，也想骗一朵小红花戴戴。
(1) 原问题：一列队伍长一百米，向前行驶，队伍中最后一个人（二者均为匀速），以较快的速度沿着同样的方向前进，当这个人走到队伍的最前头的时候，返回身来再往回走，一直走到队伍的最后，这时，整列队伍恰好向前行走了100米。提问：单独的这个人走了多少路程？
鲍得海问题（见首篇[29]）：一列队伍长M米，向前行驶，队伍中最后一个人，以较快的速度沿着同样的方向前进，当这个人走到队伍的最前头的时候，返回身来再往回走，一直走到队伍的最后，这时，整列队伍恰好向前行走了N米。提问：单独的这个人走了多少距离？
显然，原问题是鲍得海问题的特例。即当M=N=100 时，鲍得海问题退化为原问题。今解鲍得海问题：
记V_1为队伍速度；V_2为行人速度。
此人往前走到队头。假定队伍为参照系（即不动），则此人以相对速度V_2-V_1走过距离M，时间为：M/(V_2-V_1)；
同理，此人从队头往后走到队尾。假定队伍为参照系(即不动)，则此人以相对速度 V_2+V_1走过距离M，时间为：M/(V_2+V_1)；
全部时间乘队伍速度即为队伍前进距离，故得
[(M/(V_2-V_1)+M/(V_2+V_1)) V_1=N (1)
记 X=V_2/V_1
则式(1)变为
M[1/(X-1)+1/(X+1)]=N (2)
或
NX^2-2MX-N=0 (3)
解得
X=[M+sqrt(M^2+N^2)]/N
于是，
人行路程=(V_2/V_1)N=[M+sqrt(M^2+N^2)]。 (4)
将M=N=100代入 (4) 即得原问题解：
人行路程=[100+sqrt(100^2+100^2)]=100(1+sqrt(2))
其实，这里只是用了相对运动速度的概念。 用相对速度的概念同样可解以下问题：
(2) 关晴骁问题（见首篇[34]）
两辆自行车A，B间隔100米相向而行，两车都是每秒走一米，他们出发那一刻，一苍蝇每秒2米的速度从A车直线往B车飞，飞到B车后转头又往A车飞，问两车相遇时，苍蝇飞了多少米？
我们也用鲍得海的方法将其一般化：
鲍得海化关晴骁问题：自行车速度V，苍蝇速度W (W>V)，两车初始距离L。求苍蝇飞行路程？
苍蝇第一次碰上对面自行车(B_1)，以对面自行车为参照系，相对速度W+V，距离L，时间L/(W+V)，于是
路程1= LW/(W+V)；
此时苍蝇与另一辆自行车 B_2 距离：
LW/(W+V) - LV/(W+V)= L(W-V)/(W+V)
同理，它碰到B_2时也是走了相对距离的W/(W+V)，即
路程2= L(W-V)/(W+V) W/(W+V)= 路程1 [(W-V)/(W+V)]；
一般地(观察或用简单数学归纳法证明)
路程k+1= 路程k [(W-V)/(W+V)]；
由等比级数求和得：
路程= 路程1/ [1-(W-V)/(W+V)]=L(W/V)/2=kL/2；
这里 k 为苍蝇与自行车速度比。 有趣的是即使 k<1 (即W<V) 这个公式也对。
回到关晴骁原问题：k=2，所以苍蝇飞行路程为L=100。
昨晚开车回家，边走边想这个问题，想出来的时候，发现过了四环路的健翔桥出口，只好像那沒头苍蝇，掉头再走。
最后，留一道Homework给你们家的中学生孩子：如果两自行车速度分别为V_1，V_2。其他不变（指距离仍为L，苍蝇速度仍为W），问苍蝇飞行路程？【答案是LW/(V_1+V_2)。计算比较复杂，你家孩子如果能算出来，应当算是智商比较髙的了。】
【注】Homework 原题用评论[5]或[9]的方法一步即得. 今将其修改如下 (这回大概只能用级数解了):
A, B 两地相距 L. (因风) 由 A 到 B 自行车速度为 V_1, 苍蝇速度为 W_1; 由 B 到 A 自行车速度为 V_2, 苍蝇速度为 W_2. 两自行车分别从 A, B 相向而行, 苍蝇在两车间来往飞行. 问两自行车相遇时苍蝇飞行路程. [ 答案: 苍蝇从 A 出发, 则
行程 = L[2W_1W_2+V_1(W_1-W_2)]/[(V_1+V_2)(W_1+W_2)]; 苍蝇从 B 出发, 则
行程 = L[2W_1W_2+V_2(W_2-W_1)]/[(V_1+V_2)(W_1+W_2)]. ]https://blog.sciencenet.cn/blog-660333-652305.html
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