给庞关青先生解惑

一个多月前就风闻有人传说，矩阵半张量积理论有重大错误。但自己信心满满, 不以为然。最近刚看到庞关青(旁观清)先生的大作: “程代展‘逻辑动态系统的代数状态空间的理论与方法’缺陷”。（见附）作者下足功夫, 引经据典。如果这是正常的学术批评, 不管对错, 我都会处之泰然，诚心领教。但请大家不妨一读这封匿名信。

作者首先从我的论文中引出一段然后质问:“那么, 对于从代数表达形式到逻辑表达形式, 程代展到底是转化成了还是没有转化成呢? 对此,我是疑惑万分。”然后, 在提到参考文献【2】后,得出结论:“这也就是说，程代展并没有得到从代数表达形式到逻辑表达形式的转化。”“事实证明，他的这一‘必要工具’是有严重缺陷的。”并进而引伸到我的其他结论：“这让我不得不质疑他的能控性和能观性结果的正确性，这些结果是不是也是在有条件的前提下得到的呢？”

除了否实我的理论结果(这占矩阵半张量积理论百分之一都不到)，还努力刻画我是有意掩盖这一“缺陷”。如：“他在文【1】中所说的都是含糊其词的说法。”“程代展非常清楚自己是在有条件的前提下得到。”  “对于这样一个明显的缺陷，程代展在他近期的综述论文(见文[3])第3.4节‘返回逻辑形式’中只字未提。”

如果只是学术讨论, 即庞先生关心的真只是学术的对错，庞先生大可不必用使用匿名方式, 並不辞辛苦地将此信复印邮寄给多位院士，却不肯寄我一份。全信充满讥讽, 一副打落水狗的架势，不知庞先生的“良苦用心”何在?

庞先生文中提到:“我是疑惑万分。”“这让我感到迷惑不解。”既然如此, 就让我给你解解惑吧。

为了让真正的旁观者对问题有所了解, 先对问题有个交待: 逻辑动态系统是以逻辑表达式描述的动态系统, 由于逻辑表达式难于进行归纳和综合, 我和合作者利用矩阵半张量积将其转化为代数状态空间形式(或曰矩阵形式), 然后在代数形式下进行推演及控制设计等。最后, 将代数形式再返回到逻辑形式。最后这一步是很重要的, 它不仅反映了系统的物理实质, 而且可通过逻辑线路设计等,使系统控制得以实现。这里有两个转换过程: 逻辑系统à代数系统à逻辑系统。匿名信里所涉及的是后一个转换。

那么, 到底我是否给出了一般代数系统到逻辑系统的转换算法呢? 真正做矩阵半张量积及其应用研究的大多数学者和上过相关课程的学生都很清楚。我不想在这里讲算法，这在论文中有清楚描述。我只想强调一点：任何代数表达式都可以用我的算法返回逻辑表达式, 决无例外。

引起混乱的原因是什么呢? 当代数形式的转移矩阵用我的公式表示成分量式(即每个状态变量的代数表达式)时, 它是关于所有变量的。这时, 可能有一些变量是“哑变量”,即形式上这个表达式与它有关, 但实际上与它无关。于是, 我们建议先将哑变量消去,然后再将它转化成逻辑形式。如果不消去, 返回的逻辑系统也会有哑变量。如果代数表达式本身就没有哑变量, 自然无需做这一步。

论文【2】中的引理2是我们论文【1】中的一个结果, 用于判断一个代数表达式是否有某个哑变量及如何消去哑变量。【2】的作者犯了一个低级错误：他们把是否存在哑变量的判定条件当作是否可转换的必要条件。因此, 在随后的例3中, 两个方程都没有哑变量, 自然不满足引理 2，于是, 他们断言, 该例子用我们的方法不能返回逻辑形式。明眼人自然一眼就看出他们错在那里。这本是一个单纯的学术问题, 没想到庞先生却从中捞到了一根稻草。  

其实, 我们的算法还有一个副产品：我们知道, 同一个逻辑关系式可能有多个逻辑表达形式(它们有相同的真值表)，于是, 我们需要标准形式。一般逻辑书中都会提到析取范式与合取范式, 多半有存在性证明, 但未见有具体构造性算法。我们的算法：逻辑表达式1 à代数表达式à逻辑表达式2。这里, 逻辑表达式2是1的合取范式, 因此, 两次转换就是一个逻辑表达式1合取范式的构造性算法。

矩阵半张量积及其应用的一些内容, 已被编为教材【4】，并在北京理工大学徐特立班连续讲授。该课程也在山东大学讲授过。另有哈工大、山师大等也开设以该书为教材的课程。最近, 知名国际控制杂志IET Control Theory & Applications 出版了一个关于矩阵半张量积及其应用的专刊【5】，特别是其中的综述论文【6】，反映了半张量积的最新进展,有兴趣的读者不妨看看。如果对矩阵半张量积的数学内涵有兴趣, 可参见长文【7】。

本人是一根筋, 书生气十足, 不谙人情世故, 对学术不端疾恶如仇, 因此, 难免得罪了几位大小“庞先生”们，使他们必欲置我于死地而后快。当年林则徐被发配新疆时曾仰天长叹：“青史凭谁订忠奸?”今天, 我也想凭栏一问:“学海凭谁订真伪?”

参考文献：

[4]程代展,夏元清,马宏宾,闫莉萍,《矩阵代数,控制与博弈》,北京理工大京出版社,2016.

[5]Special Issue：Recent development in logical networks and its applications, IETControl Theory & Appl., Vol. 11, No. 13, 2017.

[6]J. Lu, H. Li, Y. Liu, F. Li, Survey on semi-tensor product method with itsapplications in logical networks and other finite-valued systems, IET ControlTheory & Appl., Vol. 11, No. 13, 2040-2047, 2017.

[7]D.Cheng, On equivalence of Matrices, Asian J. Mathematics, to appear, (preprint:arXiv:1605.09523).

附录:

程代展“逻辑动态系统的代数状态空间的理论与方法”缺陷

程代展通过把逻辑表达形式转化为代数表达形式来研究逻辑系统。然而，想要知道所得代数结果的逻辑意义，必须把逻辑系统的代数表达形式返回到逻辑表达形式。程代展在他的获奖论文(见文[1])摘要中声称：“some formulas are obtained for retrieving networksand its logical dynamic equations from this network transition matrix”。只看他的论文摘要的人会以为程代展给出了逻辑系统的代数表达形式返回到逻辑表达形式的转化公式。但是，程代展在文[1]第3节给出转化公式之前又说：“Note that the neighborhood of node i, called the in-degree of node i, is usually much smaller than n”。那么，对于从代数表达形式到逻辑表达形式，程代展到底是转化成了还是没有转化成呢？对此，我是疑惑万分。

最近，我在科学研究的知名网站arxiv.org上看到了一篇题为“Reconstruct thelogical network from the transition matrix”的论文(见文[2])。在阅读了这一篇论文后，我才知道，原来程代展是在有条件的前提下给出的所谓的“转化公式”。他在文[1]中所说的“usually”和“much smaller than”都是含糊其辞的说法。实际上，他省略的情况的例子不胜枚举，例如，文[l]图1和文[2]图2中的逻辑系统。像这样的例子还有无穷多。这也就是说，程代展并没有得到逻辑系统从代数表达形式到逻辑表达形式的转化。

程代展在文[1]第6节“结论”中声称这一转化是他研究逻辑系统能控性和能观性的“necessary tool”。事实表明，他的这一“必要工具”是有严重缺陷的。这让我不得不质疑他的能控性和能观性结果的正确性，这些结果是不是也是在有条件的前提下得到的呢？

我相信，程代展是知道这个转化问题的重要性的，至少他在他的获奖论文里花了很大篇幅试图解决这一问题。我也相信，程代展非常清楚自己是在有条件的前提下得到的逻辑系统的代数表达形式到逻辑表达形式的转化公式。然而，对于这样一个明显的缺陷，程代展在他近期的综述论文(见文[3])第3.4节“返回逻辑形式”中只字未提。这让我感到迷惑不解。

庞关青

参考资料

[1] Controllability and observability of Boolean control networks. Automatica, 45: 1659-1667, 2009.(Automatica Prize Paper Awards 2011)

[2] Reconstructthe logical network from the transition matrix. http://arxiv.org/pdf/1710.09681.pdf

[3] 从矩阵半张量积到逻辑控制系统.中国科学：数学，46:1410-1424, 2016.