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称球问题的两种方法
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1月30日，科学网的应行仁老师发表博文《称球问题》，提出智力思考堆栈(Call Stack)的深度概念，获编辑部青睐，精选置顶。一时间科学网众博主兴趣多多，到目前为止共有23位博主推荐，50个评论，3592人次访问。
称球问题的源头还是科普才女，张天蓉老师的杰作：有十三个球，其中十二个重量相同，只有一个次品，不知是轻了还是重了。请用天平秤三次，将这个次品找出来。本来应老师已给出基本的称法，大家深入理解就是了，但不想有两位较真的博主硬是要从命题本身来否定这个练脑小题。
数学行家李世春老师看到后，以极大的兴趣另发博文《8个球就可以证明“十三球问题”（称球问题）无解》，特别作出结论：无论怎么摆放球，称量3次不可能从13个球中找到那个次品。
物理学家戴德昌老师也专门撰文，认为此问题需要穷举法和运气来解决，调侃道《称球问题是忽悠小朋友》，认为“哥哥”，的问题错了。
本文给出高中生Danilo Li (柱柱) 和巴西利亚大学博士生郑建亚对称球问题的的两种解法。Danilo Li的方法共列出20种可能通过3次秤球找到次品。郑建亚的的解法，共有13种可能称法找到次品。列出两种算法的目的在于说明称球问题应该有解，而且还有多种方法。
本文应着张天蓉老师的初衷，让孩子和学生们练练脑。文中的表述仅以秤3次过程中相关的逻辑关系，找出次品为目的，没有任何完备性理论证明和数学模式化。期待着应行仁老师下一篇文章对此问题的构造性证明和新的提示。敬请应行仁老师、李世春老师和戴德昌老师等科学网的众博友指导访问。
一、Danilo Li的解法
1. 四四分法的平衡情况
第一次秤：
A(4)球―――――――――――――B(4)球
△
上图中A表示天平的左边，B表示天平的右边。括号内的数字表示天平该边托盘上放置的球的数目。
1.0: 两边平衡
在A 边保留3个球
从剩余的5个球里面拿出3个放B边。
平衡情况
第二次秤：
A(3)球―――――――――――――B(3)球
△
可分为两种情况：
1.1: 两边平衡
在A边保留1个球，从剩余的2个球里面拿出1个放B边。
第三次秤：
A(1)球―――――――――――――B(1)球
△
1.1.1: 两边平衡
从剩余的1个球是次品。(第1种可能)
1.1.2: 两边不平衡
B 边的球是次品。(第2种可能)
1.2: 两边不平衡
B 边的3个有次品
1.2.1 B 边朝下，说明次品更重
B 保留1个，从B边拿下的两个球任意一个放到A边
第三次秤：
A(1)球―――――――――――――B(1)球
△
三种情况：
1.2.1.1 A边朝下，则是 A边这个球是次品；(第3种可能)
1.2.1.2 B边朝下，则是 B边这个球是次品；(第4种可能)
1.2.1.3 两边平衡， 则是原B边第3个球是次品。(第5种可能)
2. 四四分法的不平衡情况
由于该情况较复杂，下面在称球的过程中，加上各球的编号，分别放在天平两边托盘上面。
第一次秤：
1,2,3,4 5,6,7,8
A(4)球―――――――――――――B(4)球
△
剩下5个球：9，10，11，12，13
不平衡情况 - A边朝下，B边朝上
情况 2.0: 两边不平衡
因为第一次秤时的不平衡，次品应在1，2，3，4 号球或5，6，7，8 号球中。
第二次秤：
1,2,5,6,7 9,10,11,12,13
A(5)球―――――――――――――B(5)球
△
将B边 3个球：5，6，7号球放到A边。把原A边的球里拿出2个：3，4号球。
2.1 两边平衡
因为平衡，已知次品球在3，4，或8号球中。
第三次秤：
3,8 9,10
A(2)球―――――――――――――B(2)球
△
2.1.1 两边平衡
根据第二次秤时的平衡结果，在此情况下只有4号球是次品。(第6种可能)
2.1.2 两边不平衡
在此情况下3或8号球会是次品。
2.1.2.1 A边朝下
如果第一次秤，A边朝下， 3号球是次品。(第7种可能)
如果第一次秤，B边朝下， 8号球是次品。(第8种可能)
2.1.2.2 A边朝上
如果第一次秤，A边朝下， 8号球是次品。(第9种可能)
如果第一次秤，B边朝下， 3号球是次品。(第10种可能)
2.2 两边不平衡
因为不平衡，已知次品球在1，2，5，6或7号球之中。
2.2.1 第一次秤A边朝下且第二次秤A边还是朝下
1或2号球会是次品。
第三次秤：
1 2
A(1)球―――――――――――――B(1)球
△
2.2.1.1 A边朝下
1号球是次品。(第11种可能)
2.2.1.2 B边朝下
2号球是次品。(第12种可能)
2.2.2 第一次秤A边朝下且第二次秤A边朝上
5，6或7号球是次品。
第三次秤：
5 6
A(1)球―――――――――――――B(1)球
△
2.2.2.1 A边朝下
6号球是次品。(第13种可能)
2.2.2.2 B边朝下
5号球是次品。(第14种可能)
2.2.2.3 两边平衡
7号球是次品。(第15种可能)
2.2.3 第一次秤A边朝上且第二次秤A边朝下
5，6或7号球是次品。
第三次秤：
5 6
A(1)球―――――――――――――B(1)球
△
2.2.3.1 A边朝下
5号球是次品。(第16种可能)
2.2.3.2 B边朝下
6号球是次品。(第17种可能)
2.2.3.3 两边平衡
7号球是次品。(第18种可能)
2.2.4 第一次秤A边朝上且第二次秤A边还是朝上
第三次秤：
1 2
A(1)球―――――――――――――B(1)球
△
2.2.4.1 A边朝下
2号球是次品。(第19种可能)
2.2.4.2 B边朝下
1号球是次品。(第20种可能)
二、郑建亚的解法
该算法也是基于四四分法，将13个球分别进行编号，1-13号。?为标准球。
第一步 （1，2，3，4） VS （5，6，7，8）
共有两种情况：平衡1.1和不平衡1.2
1.1 天平平衡，说明问题在（9，10，11，12，13），其他球为标准球。
第二步（9，10，11） VS （?，?，?）
同样有两种情况：平衡1.1.1和不平衡1.1.2
1.1.1 平衡说明问题在（12，13）球。
第三步：（12） VS （?）
得到结果：如果平衡，13号是次球。
如果不平衡，12是次球。
1.1.2 不平衡说明问题在（9，10，11）球，而且知道次球比标准球是轻还是重。
第三步：（9） VS （10）
得到结果：如果平衡，11号是次球。
如果不平衡，根据次球的轻重可以确定10或9哪个是次球。
1.2 天平不平衡，说明问题在（1，2，3，4，5，6，7，8）球。
同时可知重量（1+2+3+4 >或< 5+6+7+8）
第二步 （1，2，3，5）VS （4，?，?，?）
有两种情况：1.2.1 平衡和1.2.2 不平衡。
1.2.1 平衡说明问题在（6，7，8）球。而且可以确定次球轻重。
第三步 （6）VS（7）
得到结果：如果平衡，8号是次球。
如果不平衡，根据次球轻重可知7或6号是次球。
1.2.2 如果不平衡说明问题在（1，2，3，4，5）球。
不平衡有两种情况，1.2.2.1天平倾斜不变，1.2.2.2 天平倾斜改变。
1.2.2.1 天平倾斜改变，说明问题出在（4，5）球。
第三步 （4）vs （?）
得到结果：如果平衡，5号是次球。
如果不平衡，4号是次球。
1.2.2.2天平倾斜不变，说明问题出在（1，2，3）球。且可知次球轻重。
第三步 （1） vs （2）
得到结果： 如果平衡，3号是次球。
如果不平衡，根据次球轻重可知2或1号是次球。
感谢以上提到的各位老师和科学网的众博主的支持和关注。
注：应行仁老师已给出该问题的通解，请见：http://blog.sciencenet.cn/blog-826653-658533.html
https://blog.sciencenet.cn/blog-652078-658415.html
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