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小波变换的分类及其功能——数据分析漫谈1 精选

已有 11900 次阅读 2012-8-30 19:43 |个人分类:科研随笔|系统分类:科研笔记|关键词:小波变换| 小波变换

小波变换可以分为连续小波变换1和正交小波变换2两大主要类型。两类小波变换对应的主要功能分别为时频分析3Time-frequency analysisTFA))和多分辨率分析4Multi-resolution analysisMRA))。两类小波变换的共同功能是滤波。

 

TFA是指分析一个时间信号中所包含的调和子信号或准调和子信号以及非调和噪声。TFA的作用为:估计一个时间信号中所包含的调和子信号或准调和子信号的瞬间频率、瞬间振幅、瞬间相位以及估计该时间信号中噪声幅度的时频分布。

 

MRA是将一个时间序列展开成不同二进时间尺度上的子序列之和。MRA的一个重要应用就是数据压缩。数据压缩更多的时候要用到正交小波包变换,而正交小波包变换可视为正交小波变换的延伸。

 

利用连续小波变换滤波,其步骤是:1 对时间信号进行连续小波变换;2 选择一定的频段,对连续小波变换进行逆变换,其结果就是原时间信号的该频段滤波信号。

 

利用正交小波变换滤波,父母小波的阶数一定要很长,最好超过50或更长,这样父小波就相当于一个低通滤波器,而母小波则是相当于一个带通滤波器。其步骤是:1 对时间序列进行正交小波变换;2 选择某一二进时间尺度上的父小波系数,而将该时间尺度上以及小于该时间尺度上的母小波系数全部置零,利用逆正交小波变换,所得即是原时间序列的一种低通滤波结果。这里需要说明的是,如果父母小波的阶数设置得很短,如4或者10,这时的低通滤波结果并不是很理想。

 

后记:

1     利用连续小波变换进行TFA时,一定要采用L1-norm的连续小波变换定义而不能采用现行教科书流行的L2-norm的连续小波变换定义,原因在于后者的时频谱中存在频率偏移现象5-7;利用正交小波变换进行MRA时,可以采用L2-norm的正交小波变换定义,因为MRA并不强调频率(即尺度)分析的精确性。

2     利用连续小波变换进行滤波时,在逆变换时的波段选择是个问题。不妨采用新发现的逆小波变换公式7,该公式在波段选择上很直接和简单。

 

参考文献:

[1]      Farge, M. (1992): Wavelet transforms and their applications to turbulence, Ann. Rev. Fluid Mech., 24, 395-457

[2]      Daubechies, I. (1988) Orthonormal bases of compactly supported wavelets. Comm. Pure Appl. Math. 41, pp. 909–996.

[3]      Qian, S. and Chen, D. (1996): Joint Time-Frequency Analysis: Method and Application, Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ

[4]      Mallat, S. (1989): "A Theory for Multi-resolution Approximation: the Wavelet Approximation," IEEE Trans. PAMI 11, 674-693.

[5]      Liu, Y. et al. (2007): Rectification of the Bias in the wavelet power spectrum, J. Atmospheric and Oceanic Technology, 24, 2093-2102

[6]      Shyu, H. C. and Sun, Y. S. (2002): Construction of a Morlet Wavelet Power Spectrum, Multidimensional Systems and Signal Processing, doi: 10.1023/A: 1013847512432.

[7]      Liu L. and H. Hsu (2012): Inversion and Normalization of Time-Frequency Transform, Appl. Math. Inf. Sci. Vol. 6 No. 1S  pp. 67S-74S.



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