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墙外花开——关于小波和小波变换

已有 1859 次阅读 2017-7-29 20:32 |个人分类:科研随笔|系统分类:科研笔记

   最近,注意到俄罗斯科学家的两篇高端杂志论文,分别发表于2014年和2016年。前一篇论文兴奋地宣布发现一个事实:不用容许性条件,连续小波变换也存在逆变换! 后一篇论文则趁兴描述了这一发现的具体计算落实。

   应该说,俄罗斯人高兴得晚了些。她们发现的事实,早在2009年就已经被我发现了,并出现在我于2009年的小册子里,而且我的相关论文也于2012年发表于一份不起眼的杂志上。只是我给出逆变换公式一直被国际专家不重视,以至于俄罗斯人以为自己做出了开创性贡献。我已经跟俄罗斯科学家进行了联系,她们说确实没有看到过我的论文。

   如果她们看到了我的论文,也许她们不会这么兴奋,但她们也有值得骄傲的东西:新型的逆小波变换公式!这也是一种不用容许性条件限制的新公式,这充分说明容许性条件作为逆小波变换存在的必要条件是错误的,也说明用容许性条件定义的小波是不科学的,而这正是自己多年一直呼吁需要正视的东西(详见我的科学网博客)。

   墙外花开了,看到自己所认真追求的东西在国外有了着落,我自己有说不尽的感慨。从2008年发现上述事实开始,我就一直呼吁重新定义小波,而别人都以为我疯了。这会儿人们可以问问俄罗斯人:我到底疯没疯。

   那么,小波该怎样重新定义呢?小波,小波,其实质就是一个局部波动的信号,这就是小波最简单的定义。而传统小波教义里非要说小波是一个局部均匀波动的信号,即小波的均值(即期望)必须为0,这就是所谓的容许性条件。而我的发现恰恰证实:这一容许性条件是不必要的。现在可以肯定:俄罗斯人也这么认为。

   其实俄罗斯人的兴奋是有道理的。2008年,当我发现容许性条件是不必要的时候,我也兴奋得睡不着。我知道自己开辟了第二条回家的路(而俄罗斯人开辟了第三条),这条路从来没有人走过,因为它冒犯了禁忌,被国际封杀。而我却觉得这条路上的风景异常优美,只是我独享太奢侈了。没想到俄罗斯了也冒犯了禁忌,开发出第三条回家的路,她们也该兴奋一把了。

   自己发现的真理得以国外同行的弘扬,故事似乎讲完了。然而,故事没有完,更让我感慨的故事出现在俄罗斯人的第二篇论文里。

   那篇论文的第一段话就定义了一个标准小波变换(标准时频变换的一种),该小波变换竟然采用了L1-norm形式!而这正是自己多年来一直建议而不见回音的。传统小波变换可都是定义于L2-norm下呀!

   论文的第二段话道出做出这种“调整”的理由:这种变换可以将一个和谐信号的频率和相位确定出来。天哪,这不就是说她们也发现了无为原理了吗?!

   经过反复研读这开篇的两段话,我确信俄罗斯人也摸索到了无为原理,只是她们的表达仍然不直接。而且她们业已认识到:为了使得无为原理成立,她们必须对小波变换进行“特别调整”(especially adjusted)。我2002年发现无为原理后用了一个长篇论文在JGR(2007)来描述这一事实,而俄罗斯人在14年之后用了两段话概括了。

   多少年来,我一直建议对小波变换的定义做出变革,原因在于无为原理的发现,但国际反应似乎寥寥。而今,在俄罗斯人的论文里,无为原理连同与之相关的标准小波变换竟然这么体面地出现在开篇段落里,但她们并不知道她们描述的事实已经被我揭示了。

   可以说,自己多年苦苦守卫的无为原理在被不少中国人确认并应用之后,终于被俄罗斯人再次印证,自己内心是高兴的,这种高兴已经不用喜悦来描述,只能说:真理终是要发光的,只是发光的时间的早晚而已和发光的地点的不同而已。

   这里我再次重申:无为原理是重要的,她是时频分析的基石,任何脱离无为原理的线性时频变换都是不完美的。至少,目前俄罗斯人已经认识到这一点了。至于俄罗斯人能否在无为原理的基础上提出标准时频变换理论来,这似乎有点为难她们了。

   这里我还想再次重申:考虑到无为原理的存在,在时频分析时,连续小波变换必须定义于L1-norm下,而不能像传统连续小波变换那样定义于L2-norm下。这一点对于小波应用者来说是至关重要的,因为,MATLAB中的连续小波变换依然采用L2-norm,对于时频分析来说是不适用的。

   从小波的重新定义到小波变换的变革,这两点是自己近几年所一直倡导的,而如今这两点墙外开花,在俄罗斯茁壮生发,不能不说我感觉到一种骄傲。这种骄傲内生于心。故事就先讲到这里。




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