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方程的变迁 精选

已有 6665 次阅读 2019-7-18 08:39 |个人分类:教育|系统分类:教学心得| 方程式, 九章算术, 微分方程, 化学反应, 赛车

方程的变迁

小时候上初中一年级,有了代数课,知道了“方程”,许多小学算术课中间的很“绕”的题目,列一个方程,就很容易解出来。一眨眼,六十多年过去了。但是,我学过的课本上可从来没有告诉我,为什么这样“含有未知数的等式”叫做“方程”。小时候的我也没有去想这个问题,就像当年坐在我边上的那位同学叫张家麒,我当时并没有去追问他为什么叫这个名字一样。

不过,年长之后,慢慢明白了,给人给物取名称都是有一定根据或一个缘由的,如张家麒的家长希望他像他们家的“麒麟”,给他们家带来荣华富贵,所以给他取了这样一个吉祥的名字。但是,很长时间以后,虽然学了一元二次方程、高次方程、指数方程等等,我也仍然不知道为什么把这些方程称为“方程”。

直到后来学矩阵,用计算机解线性方程组,看到这由数字组成的方方正正的阵列,才模模糊糊地感到,怪不到这叫做方程。

实际上,“方程”这个词,有着非常久远的历史,原来就是指线性方程组。方,方形;程,程式。差不多两千年前,汉代的《九章算术》的第八卷就取名“方程”。该卷一开始就给出了一道三元一次方程组的算题,翻译成白话文如下:

今有上等黍3捆、中等黍2捆、下等黍1捆,打出的黍子共39斗;上等黍2捆、中等黍3捆、下等黍1捆,打出的黍子有34斗;而上等黍1捆、中等黍2捆、下等黍3捆,打出的黍子则有26斗。问每一捆上等黍、中等黍和下等黍分别能打出多少斗黍子?

显然,任何没有把初中代数全部忘记的人,都很容易写出如下的三元一次方程组

3x + 2y + z = 39

2x + 3y + z = 34

x +  2y + 3z = 26

在《九章算术》中,自然不会有xyz这些变量名,它们实际上也没有什么用处,只要人们记住它们的相对位置即可,如我们可以这样写

3   2   1    39

2   3   1    34

1   2   3    26

当然,《九章算术》中也不会有阿拉伯数字,而且根据中国人写文章的传统习惯,字是竖着排列的,列序是从右到左,这样就给出了下面这样的“方程”。上面阿拉伯数字阵列的第一行相当于最右边的一列,第二行为中间的一列等等

接着《九章算术》就给出了求解这个方程组的方法即所谓“方程术”,实际上就是现在初中所学习的“加减消元法”。只是更接近现在我们用计算机程序来计算的过程,虽然显得有些“笨拙”,但是却像现在我们使用的各种“傻瓜机”一样,即使使用者能力差一些也没有关系,只要照着“方程术”按部就班去做,类似的问题都一样解决。实际上,我们用以计算的计算机也就很“傻瓜”,并不会变通,只会照着编好的程序和输入的数据,老老实实地去照做,麻烦一点倒没有关系。

方程在中国古代就是指这样一类线性方程组。

我们现在把“含有未知数的等式”称为方程,是因为1859年清代数学家李善兰把equation 翻译成“方程”。李善兰当然知道“方程”一词的本来含义,他这样做,实际上已经把“方程”这个词的定义进行了扩张。

随着时代的发展,人类知识的增加,绝大多数名词的定义都在变化,其中很多是在扩张。例如,数,最初只是指自然数,后来扩张到分数,又扩张到负数和〇,这就成了有理数;再扩张到无理数,就成了实数;又扩张到虚数,成了复数;以后又有了多重复数。

方程或方程式这个术语也是如此,也在不断扩充它的“定义域”。

一开始,方程(组)只是指线性方程(组),后来就有了二次或更高次的方程,再有了分式方程和分数次方即开方运算的方程,也就是在代数式里带有未知数的等式,或者称代数方程。

以后,又有了带有三角函数、指数或对数函数的所谓超越方程。

在科学和工程上非常有用的是微分方程。只有一个变量的是常微分方程,有多个变量的称偏微分方程。微分方程的一般解是一个或多个函数,甚至是“函数的函数”,而不仅仅是一个或几个数值。

由于某个方程(组)的解,或者说适合于某个方程(组)的函数,具有某种特定的性质。许多物理问题就可以写为某个方程的解,也就是说,很多物理定律就可以用方程来表示。

像人人皆知的牛顿第二定律就被写为 F(r,t = m*a(r,t)。其中m是质点的质量,r为质点的坐标,t为时间,力F和加速度a都是坐标和时间的函数。这样的方程实际上已经成为一个物理定律的表达式,或者称为公式。这样,方程式和公式(equation和 formula)在很多情况下成了近义词或者可以混用的词汇。

在更一般的情况下,许多物理定律都被表达为微分方程。像经典力学即牛顿力学的规律被总结成的哈密顿方程,经典电磁学的规律被表达为麦克斯韦方程组,量子力学的运动规律是薛定谔方程,如此等等。

在很多情况下,如果客观世界的某一种规律尚不能用方程式表示,人们往往会不认为我们对此规律有了充分的了解。

由于实际问题的复杂性,很多微分方程实际上是无法得到它的解析解或者说严格解的,只能求得其数值解,当然现在这项工作总是由计算机完成的。有趣的是,在求解的过程中,许多情况下,可以把偏微分方程转化为线性方程组,这样又回归到了原始的“方程”。

例如,对于原子-分子体系,由于一般都是多体问题(原子-分子一般总是有许多个原子核和电子组成),其薛定谔方程就无法得到解析解,也就是说,薛定谔方程的解即体系的波函数不能写出它的准确表达式。但是,当人们把构成方程解的函数写为一系列已知函数的线性组合后,薛定谔方程这个二阶偏微分方程就可以还原成了线性方程组,也就是类似于《九章算术》中的真正的“方程”了。

当然,对于一个有十来个到几十个原子组成的体系,其方程组的系数行列式可能会有成百上千阶,不过这对于现在的电子计算机来说还是基本上能够胜任的。

从原子-分子的角度看,化学反应过程中的不同状态,就是薛定谔方程在不同参数下的解,因而,照着现在这样的方法,我们的化学世界,林林总总的化学反应,也不过是不同参数的“方程”而已。

不过,我们从中学化学中就开始接触到的化学反应方程式的含义,却与上面所说的数学方程不是一回事情了。它只是表示表示化学反应中的物质变化过程。例如,碳酸氢钠(小苏打)分子的分解反应,就把反应物和产物分列在等号或箭头的两边即可。

当然,我们需要使得等式两边保持“物质不灭”,即等式两边各个化学元素的原子数相等,也就是将方程式“配平”,以保证这仍然是一个“等式”。

但是,在许多情况下,我们只需要说明由这些物质变为那些物质,一个示意而已,画一个箭头,也不必配平。我们也把它称为方程或方程式。这只是一个式子,这样的“方程式”与原始意义上的方程已经不是一回事情了。

至于在竞技赛车中的“方程式”,则只是根据赛车的大小、重量、功率等所划分的等级,如一级方程式赛车的功率最大。之所以有这样的说法,大概是由于当年的“体育老师”偷懒,不肯把formula另外再翻译一个名词,就硬傍着“数学老师”的“方程式”了。




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