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杂说几个与几何有关的字(2)弧和弦 精选

已有 5668 次阅读 2018-1-23 08:25 |个人分类:教育|系统分类:教学心得| 弧形, 弦歌, 三角函数 勾股定理

杂说几个与几何有关的字(2)弧和弦

一条直线与圆相交,圆内的线段把圆分成了两个部分,每一个部分都称为一个弓形。弓形的边缘,原来圆周的部分称为弧,这条线段就是弦。

我们可以想象,最早的弓就是把树枝一弯,利用树木的弹性进行射击。被拉弯的树枝就是弧,将木拉成弧而自己被绷直的绳子,就是弓上的弦。当然,用弓射出的就是箭矢。这样,弧与弦从一开始就应当是天生的一对。这是我们从几何图形出发而产生出来的想象。

然而,我们在古代的文章中,却较少找到由弧及弦在一起的文字或语汇。这在我们现代人看来似乎有些奇怪。

原来,在古代汉语中,弧的本义就是“木弓”。这样,弧也就通常作为弓的通称,很多情况下,弧就是弓。换句话说,古代在弓这个意义上的弧字,往往把“弧”和弦两个意思都包含在一起了。

正如《易·系辞》所说:“弦木为弧,剡木为矢,弧矢之利,以威天下”。弓在古人的生活中,具有非常重要的作用。古代风俗,家中生男孩,则于门左挂弓一张,后因称生男孩为“悬弧”。语见《礼记内则》:“子生,男子设弧于门左”。另外,贵族男儿出生时,要以桑木为弧弓,用蓬草作箭,射向天地四方,象征男儿应有志于四方。后把“桑弧”或“桑弧蓬矢”用作勉励男儿应有远大志向的祝辞。晋代陆云有诗句:“桑弧蓬矢,丈夫之志。经营四方,古人所叹”。

古人还用桃木做弓,棘枝做箭,认为可以辟邪。《左传·昭公四年》:“桃弧棘矢,以除其灾。”后世娶妻的过程中要朝着新娘轿门虚射三箭(侯宝林先生在他的相声《婚姻与迷信》中,说过这种陋习),就是这种桃弧棘矢的遗迹。

后来,用弧来表示弓的情况逐渐减少,弧这个字才专门用来表示现在我们了解到弧形(原来是一身而兼二任)。借助英语来说明,原来的弧字与bow接近,既表示弯形又表示弓,后来则接近与arc,只是表示弧线与弧形了。这样,因一些弧形的东西就构成了新的词语,如括弧,就是弧状的计算或标点符号;电弧,就是相离的电极之间发出的有弧形光亮的放电现象。

弓上的弦绷紧了,一弹,自有铮铮之声。不同长短、不同粗细的弦,就能够弹出来不同频率的声音。所以,自古以来,弦乐器便是最重要的乐器。

在古人那里,音乐是起到教化作用的。孔子教学生的“六艺”之中就有一门乐。弦歌就是依据琴瑟的音调而歌咏。司马迁在《史记·孔子世家》中说:“三百五篇,孔子皆弦歌之。”他又说,孔子带着众多学生周游列国,在陈、蔡之间,被两国的当政者包围在野地里,没有饭吃,学生们饿得起不来了,但是,孔子仍然“讲诵弦歌不衰(“陈、蔡大夫……乃相与发徒役围孔子于野。不得行,绝粮。从者病,莫能兴。孔子讲诵弦歌不衰。)。

孔子教学生“弦歌”当然不是弹琴唱歌玩耍,而是要用以作为教化人民、治理国家的手段。《论语》中有这样一个故事,孔子的学生子游(就是我们在上一篇中说到的发现澹台灭明“行不由径”的子游)在武城做地方长官,孔子带着学生到那里去考察子游,听到“弦歌之歌”,就莞尔一笑说,治理武城这样的小地方还用得着“弦歌”吗?真是杀鸡用牛刀。但是孔子被子游反驳。于是,孔子连忙向学生们说,子游所说是对的,我刚才是故意跟他说着玩的。(“子之武城,闻弦歌之声,夫子莞尔而笑曰:‘割鸡焉用牛刀。’ 子游 对曰:‘昔者偃也闻诸夫子曰:‘君子学道则爱人,小人学道则易使也。’ 子曰:‘二三子,偃之言是也,前言戏之耳。’”《论语·阳货》)孔子到底是失言还是戏言当然各人可以有各人的看法,但是,他教学生以弦歌来教化人民是没有问题的。

所以,在古代文献中,说到“弦歌”,差不多就是说到了孔子和他的学说。

用以“弦歌”的乐器是瑟。琴与瑟相似,据说只是弦的数目不同。用的弦不对,琴瑟弹出来的调子也就不对,董仲舒用这个来比喻国家的政策出了问题,就要改变政策。他说:“琴或瑟的音调严重不对,就要把琴弦拿下来,重新换上新弦,才能够再弹(琴瑟不调,甚者必解而更张之,乃可鼓也)”。这就是成语“改弦更张”的出处。

《诗经》的开卷第一篇就有“窈窕淑女,琴瑟友之”的句子。所以,古人也常常以琴瑟比喻成夫妻,琴瑟和谐就是夫妻恩爱,失和就是吵架了,是和谐还是失和,都在弦上。所以,妻子死亡,男人再娶一位太太,称为续弦。过去妇女的死亡率极高,续弦的事情也就很多。

在我国古代的数学中,直角三角形的斜边被称为弦,于是有勾三股四弦五的说法以及勾股定理。这里的直角三角形是作为一张弓来看待的,所以斜边才称弦。有人要问,这里的弓为什么没有圆弧?以为弓一定由圆弧和弦构成,那实际上是如今学习数学后得到的先入为主的概念。因为在现在的几何图形中,所谓弓形确实是圆弧与直线段(弦)所构成的。这是我们现在从小得到的启蒙知识,其印象当然是最深刻的。但是实际上,弓并不一定有圆弧,只要那一面的弯的即可,甲骨文、金文中的弓字与后来的篆字、正楷一样,一面都是弯曲的而不是圆弧形的。在传统武术中,所谓弓步也就是一腿弯曲一腿伸直,差不多就是两腿与地面之间形成直角三角形。

在数学中,正弦和余弦是两个最重要的三角函数。三角函数是西方人发明的,重要一点的有如下8个:sine、cosine、tangent、cotangent、secant、cosecant、versine、coversine。分别翻译成正弦、余弦、正切、余切、正割、余割、正矢和余矢。我们的先人为什么把sine和cosine翻译成正弦和余弦呢?在下面的单位圆(以坐标原点为圆心,半径为1的圆)中,正弦、余弦等三角函数汉语译名的来历可以比较清楚地显示出来。

在直角ΔAOC中,θ角的正弦sinθ是AC/AO,由于是单位圆,AO是1,所以线段AC的长度就是sinθ。显然,这是弓形ABD中弦AB的一半。正,有直、正对等义。因此,在中国的第一部编译的三角学著作,明代的《大测》中,作者(邓玉函、汤若望、徐光启)将sine翻译为“正半弦”,简称“正弦”。cosine就是这个角的余角的正弦,所以称余弦。我们还可以看到,现在不大用的正矢函数,versin(θ)= 1 – cos(θ),其数值等于上面图中线段CD的长度。先人把versine 翻译成正矢。在上面的图中,CD正好是这张弓(弓形ABD)上的箭矢。由此可见,我们的前人在翻译西方科学名词时正是费尽了心思。这种精神,正值得我们现在翻译新名词的时候认真学习。

十分遗憾的是,在我学习的教科书中,一般不告诉我们这些翻译名词的来历。其实,把这些汉语名词的来龙去脉简要地告诉学生,可以让学生更深刻的理解这些概念。




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