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南开版泛函分析（第二版）教材习题选解.第二章
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57页 第6题
设
是赋范空间，
，证明，
是banach空间当且仅当中的单位球面
是完备的。
是赋范空间，，证明，是banach空间当且仅当中的单位球面是完备的。证明：是banach空间，容易证明中的单位球面是完备的，现在证明中的单位球面是完备的可得出是banach空间。
是banach空间，容易证明中的单位球面是完备的，现在证明中的单位球面是完备的可得出是banach空间。设
是中的柯西列，那么对于任意
和
，因为
，所以
也是柯西列，设
,那么，对于任意和，
，所以，
是柯西列，由题设，收敛，那么设
，于是
收敛于
,现在证明，收敛于
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是中的柯西列，那么对于任意和，因为，所以也是柯西列，设,那么，对于任意和，，所以，是柯西列，由题设，收敛，那么设，于是收敛于,现在证明，收敛于:
所以
科学网的公式编辑太坑爹了，我干脆用word写好转成pdf再截图算了
https://blog.sciencenet.cn/blog-593593-463469.html
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